【题目】如图1,该抛物线是由y=x2平移后得到,它的顶点坐标为(﹣,﹣),并与坐标轴分别交于A,B,C三点.
(1)求A,B的坐标.
(2)如图2,连接BC,AC,在第三象限的抛物线上有一点P,使∠PCA=∠BCO,求点P的坐标.
(3)如图3,直线y=ax+b(b<0)与该抛物线分别交于P,G两点,连接BP,BG分别交y轴于点D,E.若ODOE=3,请探索a与b的数量关系.并说明理由.
【答案】(1);(2);(3)b=4a+3,理由见解析.
【解析】
(1)根据顶点坐标写出顶点式,化顶点式为一般式,分别令x=0或y=0即可求出A、B的坐标;
(2)直线CP交x轴于点H,故点H作HG⊥AC交AC的延长线于点G,根据tan∠BCO=tan∠PCA解直角三角形即可求出H点坐标,由此可求得直线CH的表达式,联立二次函数解析式即可求得点P坐标;
(3)直线BP的表达式为:y=(m+4)x-(m+4)、直线BG的表达式为:y=(n+4)x-(n+4),故OD=-(m+4),OE=(n+4),ODOE=-(m+4)(n+4)=3,即-[mn+4(m+n)+16]=3,而m+n=a-3,mn=-b-4,即可求解.
解:(1)抛物线的表达式为:y=(x+)2﹣=x2+3x﹣4…①,
令x=0,则y=﹣4,故点C(0,﹣4);
令y=0,则x=-4或1,
故点A、B的坐标分别为:(﹣4,0)、(1,0);
(2)如图,设直线CP交x轴于点H,故点H作HG⊥AC交AC的延长线于点G,
tan∠BCO===tan∠PCA,
∵OA=OC=4,故∠BAC=45°=∠GAH,
设GH=GA=x,则GC=4x,故AC=GC﹣GA=3x=4,
解得:x=,
则AH=x=,故点H(﹣,0),
设CH的表达式为:y=kx+b,
将C、H的坐标代入得,解得,
∴CH的表达式为:y=﹣x﹣4…
联立①②并解得:x=0(舍去)或,
故点P(﹣,﹣);
(3)设点P、G的坐标分别为:(m,m2+3m﹣4)、(n,n2+3n﹣4),
由点P、B的坐标得,直线PB的表达式为:y=(m+4)x﹣(m+4);
同理直线BG的表达式为:y=(n+4)x﹣(n+4);
故OD=﹣(m+4),OE=(n+4),
直线y=ax+b(b<0)…③,
联立①③并整理得:x2+(3﹣a)x﹣b﹣4=0,
故m+n=a﹣3,mn=﹣b﹣4,
ODOE=﹣(m+4)(n+4)=3,
即﹣[mn+4(m+n)+16]=3,而m+n=a﹣3,mn=﹣b﹣4,
整理得:b=4a+3.
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【题目】(1)问题发现
如图1,在△OAB和△OCD中,OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=40°,连接AC,BD交于点M.填空:
①的值为 ;
②∠AMB的度数为 .
(2)类比探究
如图2,在△OAB和△OCD中,∠AOB=∠COD=90°,∠OAB=∠OCD=30°,连接AC交BD的延长线于点M.请判断的值及∠AMB的度数,并说明理由;
(3)拓展延伸
在(2)的条件下,将△OCD绕点O在平面内旋转,AC,BD所在直线交于点M,若OD=1,OB=,请直接写出当点C与点M重合时AC的长.
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【题目】某书店以元的价格购进一批科普书进行销售,物价局根据市场行情规定,销售单价不低于元且不高于元.在销售中发现,该科普书的每天销售数量(本)与销售单价(元)之间存在某种函数关系,对应如下:
销售单价(元) | |||||
销售数量(本) |
(1)用你所学过的函数知识,求出与之间的函数关系式;
(2)请问该科普书每天利润(元)的最大值是多少?
(3)如果该科普书每天利润必须不少于元,试求出每天销售数量最少为多少本?
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【题目】如图,菱形ABCD的边长为20cm,∠ABC=120°.动点P、Q同时从点A出发,其中P以4cm/s的速度,沿A→B→C的路线向点C运动;Q先以2cm/s的速度沿A→O的路线向点O运动,然后再以2cm/s的速度沿O→D的路线向点D运动,当P、Q到达终点时,整个运动随之结束,设运动时间为t秒.
(1)在点P在AB上运动时,判断PQ与对角线AC的位置关系,并说明理由;
(2)若点Q关于菱形ABCD的对角线交点O的对称点为M,过点P且垂直于AB的直线l交菱形ABCD的边AD(或CD)于点N.
①直接写出当△PQM是直角三角形时t的取值范围;
②是否存在这样的t,使△PMN是以PN为一直角边的直角三角形?若存在,请求出所有符合条件的t的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】某养猪场对猪舍进行喷药消毒.在消毒的过程中,先经过的药物集中喷洒,再封闭猪舍,然后再打开窗户进行通风.已知室内每立方米空气中含药量()与药物在空气中的持续时间()之间的函数图象如图所示,其中在打开窗户通风前与分别满足两个一次函数,在通风后与满足反比例函数.
(1)求反比例函数的关系式;
(2)当猪舍内空气中含药量不低于且持续时间不少于,才能有效杀死病毒,问此次消毒是否有效?
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【题目】滴滴快车是一种便捷的出行工具,某地的计价规则如表:
小李与小张分别从不同地点,各自同时乘坐滴滴快车,到同一地点相见,已知到达约定地点时他们的实际行车里程分别为7公里与9公里,两人付给滴滴快车的乘车费相同.其中一人先到达约定地点,他等候另一人的时间等于他自己实际乘车时间,且恰好是另一人实际乘车时间的一半,则小李的乘车费为_____元.
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【题目】某便利店的咖啡单价为10元/杯,为了吸引顾客,该店共推出了三种会员卡,如下表:
会员卡类型 | 办卡费用/元 | 有效期 | 优惠方式 |
A类 | 40 | 1年 | 每杯打九折 |
B类 | 80 | 1年 | 每杯打八折 |
C类 | 130 | 1年 | 一次性购买2杯,第二杯半价 |
例如,购买A类会员卡,1年内购买50次咖啡,每次购买2杯,则消费元.若小玲1年内在该便利店购买咖啡的次数介于75~85次之间,且每次购买2杯,则最省钱的方式为( )
A.购买A类会员卡B.购买B类会员卡
C.购买C类会员卡D.不购买会员卡
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【题目】二次函数的图象过点(4,-5)和(0,3),且与x轴交于点M(-1,0)和N,
(1)求此二次函数的解析式;
(2)如果这二次函数的图像的顶点为点P,点O是坐标原点,求△OPN的面积.
(3)如果点R与点P关于x轴对称,判定以M、N、P、R为顶点的四边形的边之间的位置与度量关系.
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