Question

【题目】二次函数的图象过点（4，－5）和（0，3），且与x轴交于点M（－1，0）和N，

（1）求此二次函数的解析式；

（2）如果这二次函数的图像的顶点为点P，点O是坐标原点，求△OPN的面积．

（3）如果点R与点P关于x轴对称，判定以M、N、P、R为顶点的四边形的边之间的位置与度量关系．

Answer 1

【答案】（1）y＝－x2＋2x＋3；（2）6；（3）该四边形（两组）对边（分别）平行，四条边都相等

【解析】

（1）将已知的三点代入，利用待定系数法即可解答；

（2）先求得点P和点N的坐标，再得出线段ON的长度以及ON边上的高，最后运用三角形面积公式解答即可；

（3）先画出图形，再说明四边形MRNP是菱形，然后运用菱形的性质解答即可．

解：（1）设二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c，

∴，

可以解得a＝－1，b＝2，c＝3 ．

∴y＝－x2＋2x＋3；

（2）如图：由题意可知二次函数的图像的顶点为点P（1，4），点N（3，0），

∴ON＝3, ON边上的高为4

∴S△OPN＝3×4÷2=6 ．

（3）如图:∵点R与点P关于x轴对称

∴MN垂直平分PR

∵PR是二次函数的图像对称轴

∴PR垂直平分MN

∴PR互相MN垂直平分，

∴PMRN为菱形

∴该四边形（两组）对边（分别）平行，四条边都相等