Question

6．已知，直线x=2与x轴相交于点A，动直线y=0.5x+b分别与x轴，y轴相交于点B、C，点D在直线x=2上．
（1）若AD=1.5，∠DBC=45°，求b的值．
（2）若△DBC与△OBC相似，求点D的坐标．

Answer 1

分析 （1）首先根据点D在直线x=2上，且AD=1.5，可得D（2，1.5）或D（2，-1.5）；然后根据∠DBC=45°，设BD所在的直线的斜率是k，则$\frac{k-0.5}{1+0.5k}=tan45°=1$或$\frac{0.5-k}{1+0.5k}=tan45°=1$，据此求出k的值是多少；最后分类讨论，求出b的值是多少即可．
（2）首先根据题意，分4种情况：①当DB⊥BC，且DB=2BC时；②当DC⊥BC，且DC=2BC时；③当DB⊥BC，且BC=2DB时；④当DC⊥BC，且BC=2DC时；然后分类讨论，求出点D的坐标是多少即可．

解答 解：（1）∵直线x=2与x轴相交于点A，
∴A（2，0），
∵点D在直线x=2上，且AD=1.5，
∴D（2，1.5）或D（2，-1.5），
∵∠DBC=45°，
∴设BD所在的直线的斜率是k，
则$\frac{k-0.5}{1+0.5k}=tan45°=1$或$\frac{0.5-k}{1+0.5k}=tan45°=1$，
①当$\frac{k-0.5}{1+0.5k}=tan45°=1$时，
解得k=3，
设BD所在的直线的解析式是y=3x+a，
Ⅰ、如图1，

将D（2，1.5）代入，得y=3x-4.5，
令y=0，
解得x=1.5，
∴B（1.5，0），代入直线y=0.5x十b，
解得b=-0.75，
此时∠DBC=135°，不符合题意．
Ⅱ、如图2，

将D（2，-1.5）代入，得y=3x-7.5，
令y=0，
解得x=2.5，
∴B（2.5，0），代入直线y=0.5x十b，
解得b=-1.25．
②当$\frac{0.5-k}{1+0.5k}=tan45°=1$时，
解得k=-$\frac{1}{3}$，
设BD所在的直线的解析式是y=-$\frac{1}{3}$x+b，
Ⅰ、如图3，

将D（2，1.5）代入，得y=-$\frac{1}{3}$x$+2\frac{1}{6}$，
令y=0，
解得x=6.5，
∴B（6.5，0），代入直线y=0.5x十b，
解得b=-3.25．
Ⅱ、如图4，

将D（2，-1.5）代入，得y=-$\frac{1}{3}$x-$\frac{5}{6}$，
令y=0，
解得x=-2.5，
∴B（-2.5，0），代入直线y=0.5x十b，
解得b=1.25．
综上，可得
b=-1.25，-3.25或1.25．

（2）∵B（-2b，0），C（0，b），
∴BC=$\sqrt{5}$|b|，
设点D的坐标是（2，n），
①当DB⊥BC，且DB=2BC时，
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{n}{2b+2}=-2}\\{{（2b+2）}^{2}{+n}^{2}=4×{5b}^{2}}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{n=-2}\\{b=-0.5}\end{array}\right.$
∴点D的坐标是（2，-2）．
②当DC⊥BC，且DC=2BC时，
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{n-b}{2}=-2}\\{{（n-b）}^{2}{+2}^{2}=4×{5b}^{2}}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{n=-3}\\{b=1}\end{array}\right.或\left\{\begin{array}{l}{n=-5}\\{b=-1}\end{array}\right.$
∴点D的坐标是（2，-3）或（2，-5）．
③当DB⊥BC，且BC=2DB时，
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{n}{2b+2}=-2}\\{{5b}^{2}=4×{[（2b+2）}^{2}{+n}^{2}]}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{n=\frac{4}{3}}\\{b=-\frac{4}{3}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{n=-\frac{4}{5}}\\{b=-\frac{4}{5}}\end{array}\right.$
∴点D的坐标是（2，$\frac{4}{3}$）或（2，-$\frac{4}{5}$）．
④当DC⊥BC，且BC=2DC时，
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{n-b}{2}=-2}\\{{5b}^{2}=4×{[（n-b）}^{2}{+2}^{2}]}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{n=0}\\{b=4}\end{array}\right.或\left\{\begin{array}{l}{n=-8}\\{b=-4}\end{array}\right.$
∴点D的坐标是（2，0）或（2，-8）．
综上，可得点D的坐标是（2，-2）、（2，-3）、（2，-5）、（2，$\frac{4}{3}$）、（2，-$\frac{4}{5}$）、（2，0）或（2，-8）．

点评 （1）此题主要考查了一次函数综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合思想的应用，考查了从已知函数图象中获取信息，并能利用获取的信息解答相应的问题的能力．
（2）此题还考查了三角形相似的判定和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；②两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；③两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．