【题目】如图,正方形ABCD和正方形CEFG边长分别为a和b,正方形CEFG绕点C旋转,给出下列结论:①BE=DG;②BE⊥DG;③DE2+BG2=2a2+2b2,其中正确结论有( )
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
【答案】D
【解析】分析:由四边形ABCD与四边形EFGC都为正方形,得到四条边相等,四个角为直角,利用SAS得到三角形BCE与三角形DCG全等,利用全等三角形对应边相等即可得到BE=DG,利用全等三角形对应角相等得到∠CBM=∠MDO,利用等角的余角相等及直角的定义得到∠BOD为直角,利用勾股定理求出所求式子的值即可.
详解:①∵四边形ABCD和EFGC都为正方形,
∴CB=CD,CE=CG,∠BCD=∠ECG=90°,
∴∠BCD+∠DCE=∠ECG+∠DCE,即∠BCE=∠DCG.
在△BCE和△DCG中,CB=CD,∠BCE=∠DCG,CE=CG,
∴△BCE≌△DCG,
∴BE=DG,
故结论①正确.
②如图所示,设BE交DC于点M,交DG于点O.
由①可知,△BCE≌△DCG,
∴∠CBE=∠CDG,即∠CBM=∠MDO.
又∵∠BMC=∠DMO,∠MCB=180°-∠CBM-∠BMC,∠DOM=180°-∠CDG-∠MDO,
∴∠DOM=∠MCB=90°,
∴BE⊥DG.
故②结论正确.
③如图所示,连接BD、EG,
由②知,BE⊥DG,
则在Rt△ODE中,DE2=OD2+OE2,
在Rt△BOG中,BG2=OG2+OB2,
在Rt△OBD中,BD2=OD2+OB2,
在Rt△OEG中,EG2=OE2+OG2,
∴DE2+BG2=(OD2+OE2)+(OB2+OG2)=(OD2+OB2)+(OE2+OG2)=BD2+EG2.
在Rt△BCD中,BD2=BC2+CD2=2a2,
在Rt△CEG中,EG2=CG2+CE2=2b2,
∴BG2+DE2=2a2+2b2.
故③结论正确.
故选:D.
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,AD为△ABC的中线,O为AB上一点,以O为圆心,AO为半径的⊙O与AB交于点F,与BC交于点E.连接AE,AE平分∠BAD.
(1)求证:BC与⊙O相切于点E;
(2)若AB=10,BC=16,求⊙O的半径;
(3)若AD与⊙O的交点为△ABC的重心,则的值为 .
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【题目】随着中国传统节日“端午节”的临近,东方红商场决定开展“欢度端午,回馈顾客”的让利促销活动,对部分品牌粽子进行打折销售,其中甲品牌粽子打八折,乙品牌粽子打七五折,已知打折前,买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需660元;打折后,买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需要5200元.
(1)打折前甲、乙两种品牌粽子每盒分别为多少元?
(2)阳光敬老院需购买甲品牌粽子80盒,乙品牌粽子100盒,问打折后购买这批粽子比不打折节省了多少钱?
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【题目】求不等式(2x﹣1)(x+3)>0的解集.
解:根据“同号两数相乘,积为正”可得:①或 ②
.
解①得x>;解②得x<﹣3.
∴不等式的解集为x>或x<﹣3.
请你仿照上述方法解决下列问题:
(1)求不等式(2x﹣3)(x+1)<0的解集.
(2)求不等式≥0的解集.
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【题目】小岩打算购买气球装扮学校“毕业典礼”活动会场,气球的种类有笑脸和爱心两种,两种气球的价格不同,但同一种气球的价格相同.由于会场布置需要,购买时以一束(4个气球)为单位,已知第一、二束气球的价格如图所示,则第三束气球的价格为______元.
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【题目】20筐白菜,以每筐18千克为标准,超过或不足的千克数分别用正、负数来表示.记录如下:
与标准质量的差值(单位:千克) |
|
|
| 0 | 1 | 2.5 |
筐数 | 2 | 3 | 2 | 1 | 4 | 8 |
(1)20筐白菜中,最重的一筐比最轻的一筐重 千克.
(2)与标准重量比较,20筐白菜总计超过或不足多少千克?
(3)若白菜每千克售价1.3元,则出售这20筐白菜可卖多少元?
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【题目】阅读下面材料:
在数学课上,老师提出如下问题:
尺规作图:作已知角的角平分线.
已知:如图,已知.
求作: 的角平分线
.
小霞的作法如下:
(1)如图,在平面内任取一点;
(2)以点为圆心,
为半径作圆,交射线
于点
,交射线
于点
;
(3)连接,过点
作射线
垂直线段
,交⊙
于点
;
(4)连接.
所以射线为所求.
老师说:“小霞的作法正确.”
请回答:小霞的作图依据是___________________________________________.
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【题目】某中学在今年4月23日的“世界读书日”开展“人人喜爱阅读,争当阅读能手”活动,同学们积极响应,涌现出大批的阅读能手.为了激励同学们的阅读热情,养成每天阅读的好习惯,学校对阅读能手进行了奖励表彰,计划用2700元来购买甲、乙、丙三种书籍共100本作为奖品,已知甲、乙、丙三种书的价格比为2:2:3,甲种书每本20元.
(1)求出乙、丙两种书的每本各多少元?
(2)若学校购买甲种书的数量是乙种书的1.5倍,恰好用完计划资金,求甲、乙、丙三种书各买了多少本?
(3)在活动中,同学们表现优秀,学校决定提升奖励档次,增加了245元的购书款,在购买书籍总数不变的情况下,求丙种书最多可以买多少本?
(4)七(1)班阅读氛围浓厚,同伴之间交换书籍共享阅读,已知甲种书籍共270页,小明同学阅读甲种书籍每天21页,阅读5天后,发现同伴比他看得快,为了和同伴及时交换书籍,接下来小明每天多读了a页(20<a<40),结果再用了b天读完,求小明读完整本书共用了多少天?
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【题目】许多代数恒等式可以借助图形的面积关系直观表达,如图①,根据图中面积关系可以得到:。
(1)如图②,根据图中面积关系,写出一个关于的等式 ;
(2)利用(1)中的等式求解:,则
;
(3)小明用8个面积一样大的长方形(宽,长
)拼图,拼出了如图甲、乙的两种图案;图案甲是一个大的正方形,中间阴影部分是边长为3的小正方形;图案乙是一个大的长方形,求
的值.
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