【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,AD为△ABC的中线,O为AB上一点,以O为圆心,AO为半径的⊙O与AB交于点F,与BC交于点E.连接AE,AE平分∠BAD.
(1)求证:BC与⊙O相切于点E;
(2)若AB=10,BC=16,求⊙O的半径;
(3)若AD与⊙O的交点为△ABC的重心,则的值为 .
【答案】(1)答案见解析;(2)r=;(3).
【解析】分析:(1)利用OA=OE得出∠AEO=∠OAE,再由角平分线得出∠BAE=∠DAE,即得出OE∥AD即可;(2)先求出CD=8,再用勾股定理求出AD=6,进而用角平分线定理即可得出BE=5,最后用相似三角形的性质得出结论;(3)先用切割线定理得出DE,进而用勾股定理得出AE,∠BAE=30°,即可得出BE=AE,即可得出结论.
本题解析:
(1)如图,连接OE.
∵OA=OE,∴∠OAE=∠OEA;
∵AD为中线,AB=AC,∴AD⊥BC,∴∠DAE+∠AED=90°;
∵AE平分∠BAD,∴∠OAE=∠EAD=∠OEA,∴∠OEA+∠AED=90°,即OE⊥BC,又∵点E在⊙O上,∴BC与⊙O切于点E.
(2)设⊙O半径为r.
∵AB=AC,AD为中线,且AB=10,BC=16,∴AD⊥BC,CD=8;
∴在Rt△ACD中,CD=8,∵OE⊥BC,AD⊥BC,∴OE∥AD,∴△BOE∽△BAD;∴ ,即, .
解得r=.
(3).
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【题目】在Rt△ABC中,∠C=90°.
(1)用尺规作图作Rt△ABC的重心P.(保留作图痕迹,不要求写作法和证明);
(2)你认为只要知道Rt△ABC哪一条边的长即可求出它的重心与外心之间的距离?并请你说明理由.
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【题目】学校为了了解七年级学生的跳绳情况,从七年级学生中随机抽查了名学生进行分钟跳绳测试,并对测试结果统计后绘制了如下不完整统计图表.
组别 | 次数 | 频数(人) | 百分比 |
1 | |||
2 | |||
3 | |||
4 | |||
5 | |||
合计 |
请根据图表中的信息解答下列问题:
(1)填空:_________,__________,__________;
(2)请补全频数分布直方图;
(3)若该校七年级共有学生人,请你估计该校七年级学生跳绳次数在范围的学生约有多少人?
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【题目】一只不透明的袋子中装有1个蓝球和2个红球,这些球除颜色外都相同.
(1)搅匀后从中任意摸出1个球,求摸到蓝球的概率;
(2)搅匀后从中任意摸出1个球,记录颜色后放回、搅匀,再从中任意摸出1个球.
求至少有1次摸到红球的概率.
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【题目】在菱形ABCD中,M是BC边上的点(不与B,C两点重合),AB=AM,点B关于直线AM对称的点是N,连接DN,设∠ABC,∠CDN的度数分别为,,则关于的函数解析式是_______________________________.
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【题目】某小区要在面积为128平方米的正方形空地上建造一个休闲园地,并进行规划(如图):在休闲园地内建一个面积为72平方米的正方形儿童游乐场,游乐场两边铺设健身道,剩下的区域作为休息区.现在计划在休息区内摆放占地面积为31.5平方米“背靠背”休闲椅(如图),并要求休闲椅摆放在东西方向上或南北方向上,请通过计算说明休息区内最多能摆放几张这样的休闲椅.
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【题目】(10分)(1)【问题发现】小明遇到这样一个问题:
如图1,△ABC是等边三角形,点D为BC的中点,且满足∠ADE=60°,DE交等边三角形外角平分线CE所在直线于点E,试探究AD与DE的数量关系.
(1)小明发现,过点D作DF//AC,交AC于点F,通过构造全等三角形,经过推理论证,能够使问题得到解决,请直接写出AD与DE的数量关系: ;
(2)【类比探究】如图2,当点D是线段BC上(除B,C外)任意一点时(其它条件
不变),试猜想AD与DE之间的数量关系,并证明你的结论.
(3)【拓展应用】当点D在线段BC的延长线上,且满足CD=BC(其它条件不变)时,
请直接写出△ABC与△ADE的面积之比.
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【题目】图1,在平面直角坐标系xOy中,直线l1,l2都经过点A(﹣6,0),它们与y轴的正半轴分别相交于点B,C,且∠BAO=∠ACO=30
(1)求直线l1,l2的函数表达式;
(2)设P是第一象限内直线l1上一点,连接PC,有S△ACP=24.M,N分别是直线l1,l2上的动点,连接CM,MN,MP,求CM+MN+NP的最小值;
(3)如图2,在(2)的条件下,将△ACP沿射线PA方向平移,记平移后的三角形为△A′C′P′,在平移过程中,若以A,C',P为顶点的三角形是等腰三角形,请直接写出所有满足条件的点C′的坐标.
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【题目】如图,正方形ABCD和正方形CEFG边长分别为a和b,正方形CEFG绕点C旋转,给出下列结论:①BE=DG;②BE⊥DG;③DE2+BG2=2a2+2b2,其中正确结论有( )
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
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