Question

已知：抛物线y=ax²+bx+c（a≠0），顶点C（1，-3），与x轴交于A、B两点，A（-1，0）．
（1）求这条抛物线的解析式．
（2）如图，以AB为直径作圆，与抛物线交于点D，与抛物线对称轴交于点E，依次连接A、D、B、E，点P为线段AB上一个动点（P与A、B两点不重合），过点P作PM⊥AE于M，PN⊥DB于N，请判断

PM

BE

+

PN

AD

是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）直接利用顶点式求出函数解析式即可；
（2）首先得出△APM∽△ABE，则

PM

BE

=

AP

AB

①同理：

PN

AD

=

PB

AB

②，进而求出

PM

BE

+

PN

AD

是定值．

解答：解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x-1）²-3，
将A（-1，0）代入：0=a（-1-1）²-3，
解得：a=

3

4

，
故抛物线的解析式为：y=

3

4

(x-1)2-3或y=

3

4

x2-

3

2

x-

9

4

；

（2）是定值，

PM

BE

+

PN

AD

=1，
理由：∵AB为直径，
∴∠AEB=90°，
∵PM⊥AE，
∴PM∥BE，
∴△APM∽△ABE，
∴

PM

BE

=

AP

AB

①
同理：

PN

AD

=

PB

AB

②，
①+②：

PM

BE

+

PN

AD

=

AP

AB

+

PB

AB

=1．

点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及相似三角形的判定与性质，得出△APM∽△ABE是解题关键．