Question

【题目】如图，点M（－3，m）是函数y＝x＋1与反比例函数（k≠0）的图象的一个交点．

（1）求反比例函数表达式；

（2）点P是x轴正半轴上的一个动点，设OP＝a（a≠2），过点P作垂直于x轴的直线，分别交一次函数，反比例函数的图象于点A，B，过OP的中点Q作x轴的垂线，交反比例函数的图象于点C，△ABC′与△ABC关于直线AB对称．

①当a＝4时，求△ABC′的面积；

②若△AMC与△AMC′的面积相等，求a的值 ．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①3.5；②a的值为3．

【解析】分析：（1）由一次函数解析式可得点M的坐标为（﹣3，﹣2），然后把点M的坐标代入反比例函数解析式，求得k的值，可得反比例函数表达式；

（2）①连接CC′交AB于点D．由轴对称的性质，可知AB垂直平分OC′，当a=4时，利用函数解析式可分别求出点A、B、C、D的坐标，于是可得AB和CD的长度，即可求得△ABC的面积；

②由△AMC与△AMC′的面积相等，得到C和C′到直线MA的距离相等，从而得到C、A、C′三点共线，故，又由AP＝PN，得到＝a＋1，解方程即可得到结论．

详解：（1）把M（－3，m）代入y＝x＋1，则m＝－2．

将（－3，－2）代入，得k＝6，则反比例函数解析式是：；

（2）①连接CC′交AB于点D．则AB垂直平分CC′．

当a＝4时，A（4，5），B（4，1.5），则AB＝3.5．

∵点Q为OP的中点，∴Q（2，0），∴C（2，3），则D（4，3），

∴CD＝2，∴×3.5×2＝3.5，则＝3.5；

②∵△AMC与△AMC′的面积相等，

∴C和C′到直线MA的距离相等，∴C、A、C′三点共线，∴．

又∵AP＝PN，∴＝a＋1，解得a＝3或a＝－4（舍去），

∴当△AMC与△AMC′的面积相等时，a的值为3．