Question

18．已知，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P．
（1）如图①，若∠COB=2∠PCB，求证：直线PC是⊙O的切线；
（2）如图②，若点M是AB的中点，CM交AB于点N，MN•MC=36，求BM的值．

Answer 1

分析 （1）利用半径OA=OC可得∠COB=2∠A，然后利用∠COB=2∠PCB即可证得结论，再根据圆周角定理，易得∠PCB+∠OCB=90°，即OC⊥CP；故PC是⊙O的切线；
（2）连接MA，MB，由圆周角定理可得∠ACM=∠BAM，进而可得△AMC∽△NMA，故AM²=MC•MN；等量代换可得MN•MC=BM²=AM²，代入数据即可得到结论．

解答 （1）证明：∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO．
∴∠COB=2∠ACO．
又∵∠COB=2∠PCB，
∴∠ACO=∠PCB．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACO+∠OCB=90°．
∴∠PCB+∠OCB=90°，即OC⊥CP．
∵OC是⊙O的半径，
∴PC是⊙O的切线．

（2）解：连接MA、MB．（如图）
∵点M是弧AB的中点，
∴$\widehat{AM}$=$\widehat{BM}$，
∴∠ACM=∠BAM．
∵∠AMC=∠AMN，
∴△AMC∽△NMA．
∴$\frac{AM}{NM}=\frac{CM}{AM}$．
∴AM²=MC•MN．
∵MC•MN=36，
∴AM=6，
∴BM=AM=6．

点评 此题主要考查了圆的切线的判定及圆周角定理的运用和相似三角形的判定和性质的应用，是一道综合性的题目，难度中等偏上．