Question

9．如图，A（-4，$\frac{1}{2}$）、B（-1，2）是反比例函数y=$\frac{a}{x}$与一次函数y=kx+b的图象在第二象限内的两个交点，AM⊥x轴于M，BN⊥y轴于N，
（1）求一次函数的解析式及a的值；
（2）P是线段AB上一点，连接PM、PN，若△PAM和△PBN的面积相等，求△OPM的面积．

Answer 1

分析 （1）把A、B两点坐标代入y=kx+b可得到k、b的方程，解方程求出k、b即可得到一次函数解析式；然后把A点坐标代入y=$\frac{a}{x}$可得到a的值；
（2）先确定M（-4，0），N（0，2），利用一次函数图象上点的坐标特征，设P（x，$\frac{1}{2}$x+$\frac{5}{2}$）（-4＜x＜-1），利用三角形面积公式得到$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{2}$•（x+4）=$\frac{1}{2}$•1•（2-$\frac{1}{2}$x-$\frac{5}{2}$），然后解方程求出x即可得到P点坐标，再利用三角形面积公式计算△OPM的面积．

解答 解：（1）把A（-4，$\frac{1}{2}$）代入y=$\frac{a}{x}$得a=-4×$\frac{1}{2}$=-2，
所以反比例函数解析式为y=-$\frac{2}{x}$；
把A（-4，$\frac{1}{2}$）、B（-1，2）代入y=kx+b得$\left\{\begin{array}{l}{-4k+b=\frac{1}{2}}\\{-k+b=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
所以一次函数解析式为y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{5}{2}$；
（2）∵AM⊥x轴于M，BN⊥y轴于N，
∴M（-4，0），N（0，2），
设P（x，$\frac{1}{2}$x+$\frac{5}{2}$）（-4＜x＜-1），
∵△PAM和△PBN的面积相等，
∴$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{2}$•（x+4）=$\frac{1}{2}$•1•（2-$\frac{1}{2}$x-$\frac{5}{2}$），解得x=-$\frac{5}{2}$，
∴P（-$\frac{5}{2}$，$\frac{5}{4}$），
∴△OPM的面积=$\frac{1}{2}$×4×$\frac{5}{4}$=$\frac{5}{2}$．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了坐标与图形的性质．