Question

17．如图，抛物线y=ax²+bx+c的对称轴为x=-1，该抛物线与x轴交于A、B两点，且A点坐标为（1，0），交y轴于C（0，3），设抛物线的顶点为D．
（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标．
（2）试判断△BCD的形状，并予证明．
（3）在对称轴上是否存在一点P，使得△ACP为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线的对称性得到点B的坐标为（-3，0），故设抛物线为两点式方程y=a（x-1）（x+3），把点C的坐标代入即可求得a的值；利用配方法将抛物线解析式转化为顶点式，即可得到顶点D的坐标；
（2）过D作DT⊥y轴于T，则可求得∠DCT=45°，∠BCO=45°，则可判断△BCD的形状利；
（3）可设出P（-1，t），则可分别表示出AP、CP、AC的长度，分AP=CP、AP=AC和CP=AC三种情况分别可得到关于t的方程，可求得P点坐标．

解答 解：
（1）点A（1，0）关于x=-1的对称点B（-3，0），
设过A（1，0）、B（-3，0）的抛物线为y=a（x-1）（x+3），
该抛物线又过C（0，3）有：3=-3a，解得a=-1
即y=-（x+1）²+4=-x²-2x+3，顶点D为（-1，4）；
（2）△DCB为直角三角形，
理由如下：
过D点，作DT⊥y轴于T，如图1，
则T（0，4）．
∵DT=TC=1，
∴△DTC为等腰直角三角形，
∴∠DCT=45°，
同理可证∠BCO=45°，
∴∠DCB=90°，
∴△DCB为直角三角形；
（3）设P（-1，t），
∵A（1，0），C（0，3），
∴AP²=（1+1）²+t²=4+t²，CP²=1²+（t-3）²=t²-6t+10，AC²=1²+3²=10，
∵△APC为等腰三角形，
∴有AP=CP、AP=AC和CP=AC三种情况，
①当AP=CP时，则有AP²=CP²，即4+t²=t²-6t+10，解得t=1，此时P（-1，1）；
②当AP=AC时，则有AP²=AC²，即4+t²=10，解得t=±$\sqrt{6}$，此时P（-1，$\sqrt{6}$）或（-1，-$\sqrt{6}$）；
③当CP=AC时，则有CP²=AC²，即t²-6t+10=10，解得t=0或t=6，此时P（-1，0）或P（-1，6）；
综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（-1，1）或（-1，$\sqrt{6}$）或（-1，-$\sqrt{6}$）或（-1，0）或（-1，6）．

点评 本题考查了二次函数的综合应用，涉及待定系数法、直角三角形的判定、等腰三角形的性质、勾股定理、方程思想及分类讨论思想等知识点．在（1）中注意抛物线解析式三种形式的灵活运用，在（2）中证得∠DCB为直角是解题的关键，在（3）中用P点的坐标分别表示出AP、CP的长是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．