Question

【题目】如图，AB是半圆O的直径，点P是半圆上不与点A，B重合的动点，PC∥AB，点M是OP中点．

（1）求证：四边形OBCP是平行四边形；

（2）填空：

①当∠BOP＝　 　时，四边形AOCP是菱形；

②连接BP，当∠ABP＝　 　时，PC是⊙O的切线．

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2)①120°；②45°

【解析】

（1）由AAS证明△CPM≌△AOM，得出PC=OA，得出PC=OB，即可得出结论；
（2）①证出OA=OP=PA，得出△AOP是等边三角形，∠A=∠AOP=60°，得出∠BOP=120°即可；
②由切线的性质和平行线的性质得出∠BOP=90°，由等腰三角形的性质得出∠ABP=∠OPB=45°即可．

（1）证明：∵PC∥AB，

∴∠PCM＝∠OAM，∠CPM＝∠AOM．

∵点M是OP的中点，

∴OM＝PM，在△CPM和△AOM中，

，

∴△CPM≌△AOM（AAS），

∴PC＝OA．

∵AB是半圆O的直径，

∴OA＝OB，

∴PC＝OB．

又PC∥AB，

∴四边形OBCP是平行四边形．

（2）解：①∵四边形AOCP是菱形，

∴OA＝PA，

∵OA＝OP，

∴OA＝OP＝PA，

∴△AOP是等边三角形，

∴∠A＝∠AOP＝60°，

∴∠BOP＝120°；

故答案为：120°；

②∵PC是⊙O的切线，

∴OP⊥PC，∠OPC＝90°，

∵PC∥AB，

∴∠BOP＝90°，

∵OP＝OB，

∴△OBP是等腰直角三角形，

∴∠ABP＝∠OPB＝45°，

故答案为：45°．