Question

如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l和抛物线W交于A，B两点，其中点A是抛物线W的顶点．当点A在直线l上运动时，抛物线W随点A作平移运动．在抛物线平移的过程中，线段AB的长度保持不变．
应用上面的结论，解决下列问题：
如图2，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l₁：y=x-2．点A是直线l₁上的一个动点，且点A的横坐标为t．以A为顶点的抛物线C1：y=-x2+bx+c与直线l₁的另一个交点为点B．
（1）当t=0时，求抛物线C₁的解析式和AB的长；
（2）当点B到直线OA的距离达到最大时，直接写出此时点A的坐标；
（3）过点A作垂直于y轴的直线交直线l2：y=

1

2

x于点C．以C为顶点的抛物线C2：y=x2+mx+n与直线l₂的另一个交点为点D．
①当AC⊥BD时，求t的值；
②若以A，B，C，D为顶点构成的图形是凸四边形，直接写出满足条件的t的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）当t=0时，A的坐标可以求得是（0，-2），利用待定系数法即可求得抛物线的解析式，则B的坐标可以求得；
（2）△OAB的面积一定，当OA最小时，B到OA的距离即△OAB中OA边上的高最大，此时OA⊥AB，据此即可求解；
（3）①方法一：设AC，BD交于点E，直线l₁：y=x-2，与x轴、y轴交于点P和Q（如图1）．由点D在抛物线C₂：y=[x-（2t-4）]²+（t-2）上，可得

t-1

2

=[（t-1）-（2t-4）]²+（t-2），解方程即可得到t的值；
方法二：设直线l₁：y=x-2与x轴交于点P，过点A作y轴的平行线，过点B作x轴的平行线，交于点N．（如图2），根据BD⊥AC，可得t-1=2t-

7

2

，解方程即可得到t的值；
②设直线l₁与l₂交于点M．随着点A从左向右运动，从点D与点M重合，到点B与点M重合的过程中，可得满足条件的t的取值范围．

解答：解：（1）∵点A在直线l₁：y=x-2上，且点A的横坐标为0，
∴点A的坐标为（0，-2），
∴抛物线C₁的解析式为y=-x²-2，
∵点B在直线l₁：y=x-2上，
设点B的坐标为（x，x-2）．
∵点B在抛物线C₁：y=-x²-2上，
∴x-2=-x²-2，
解得x=0或x=-1．
∵点A与点B不重合，
∴点B的坐标为（-1，-3），
∴由勾股定理得AB=

(0+1)2+(-2+3)2

=

2

．

（2）当OA⊥AB时，点B到直线OA的距离达到最大，则OA的解析式是y=-x，则

y=x-2 y=-x

，
解得：

x=1 y=-1

，
则点A的坐标为（1，-1）．

（3）①方法一：设AC，BD交于点E，直线l₁：y=x-2，与x轴、y轴交于点P和Q（如图1）．

则点P和点Q的坐标分别为（2，0），（0，-2）．
∴OP=OQ=2．
∴∠OPQ=45°．
∵AC⊥y轴，
∴AC∥x轴．
∴∠EAB=∠OPQ=45°．
∵∠DEA=∠AEB=90°，AB=

2

，
∴EA=EB=1．
∵点A在直线l₁：y=x-2上，且点A的横坐标为t，
∴点A的坐标为（t，t-2）．
∴点B的坐标为（t-1，t-3）．
∵AC∥x轴，
∴点C的纵坐标为t-2．
∵点C在直线l2：y=

1

2

x上，
∴点C的坐标为（2t-4，t-2）．
∴抛物线C₂的解析式为y=[x-（2t-4）]²+（t-2）．
∵BD⊥AC，
∴点D的横坐标为t-1．
∵点D在直线l2：y=

1

2

x上，
∴点D的坐标为(t-1，

t-1

2

)．
∵点D在抛物线C₂：y=[x-（2t-4）]²+（t-2）上，
∴

t-1

2

=[(t-1)-(2t-4)]2+(t-2)．
解得t=

5

2

或t=3．
∵当t=3时，点C与点D重合，
∴t=

5

2

．
方法二：设直线l₁：y=x-2与x轴交于点P，过点A作y轴的平行线，过点B作x轴的平行线，交于点N．（如图2）

则∠ANB=90°，∠ABN=∠OPB．
在△ABN中，BN=ABcos∠ABN，AN=ABsin∠ABN．
∵在抛物线C₁随顶点A平移的过程中，
AB的长度不变，∠ABN的大小不变，
∴BN和AN的长度也不变，即点A与点B的横坐标的差以及纵坐标的差都保持不变．
同理，点C与点D的横坐标的差以及纵坐标的差也保持不变．
由（1）知当点A的坐标为（0，-2）时，点B的坐标为（-1，-3），
∴当点A的坐标为（t，t-2）时，点B的坐标为（t-1，t-3）．
∵AC∥x轴，
∴点C的纵坐标为t-2．
∵点C在直线l2：y=

1

2

x上，
∴点C的坐标为（2t-4，t-2）．
令t=2，则点C的坐标为（0，0）．
∴抛物线C₂的解析式为y=x²．
∵点D在直线l2：y=

1

2

x上，
∴设点D的坐标为(x，

x

2

)．
∵点D在抛物线C₂：y=x²上，
∴

x

2

=x2．
解得x=

1

2

或x=0．
∵点C与点D不重合，
∴点D的坐标为(

1

2

，

1

4

)．
∴当点C的坐标为（0，0）时，点D的坐标为(

1

2

，

1

4

)．
∴当点C的坐标为（2t-4，t-2）时，点D的坐标为(2t-

7

2

，t-

7

4

)．
∵BD⊥AC，
∴t-1=2t-

7

2

．
∴t=

5

2

．
②t的取值范围是t＜

15

4

或t＞5．
设直线l₁与l₂交于点M．随着点A从左向右运动，从点D与点M重合，到点B与点M重合的过程中，以A，B，C，D为顶点构成的图形不是凸四边形．

点评：考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：待定系数法求得函数的解析式，点到直线的距离，平行于坐标轴的点的特点，方程思想的运用，综合性较强，难度较大．