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【题目】如图,点是等边内一点, .将绕点按顺时针方向旋转,连接

(1)求证: 是等边三角形;

(2)当时,试判断的形状,并说明理由;

(3)探究:当为多少度时, 是等腰三角形?

【答案】(1)见解析;(2) 直角三角形;(3) 125°或110°或140°

【解析】试题分析

(1) 根据题意可知,△BOC通过旋转变换得到△ADC. 根据旋转变换的性质可知BOC≌△ADC. 由此易知,△COD是等腰三角形. 根据上述旋转变换的旋转角可知OCD=60°. 不难证明等腰三角形COD为等边三角形.

(2) 结合第(1)小题的结论可知,∠ODC=60°. 根据旋转变换的性质可知,∠BOC=ADC=α=150°. 不难发现,∠ADO=90°. 这可以说明△AOD是直角三角形. 进一步观察图形可知,共用顶点O的四个角组成一个周角可以利用这一关系求得∠AOD的度数进而利用三角形内角和求得∠OAD的度数. AOD的形状可以用这三个内角的度数进行描述.

(3) 由于△AOD的三个内角两两相等均可以使△AOD为等腰三角形所以应该对这三个内角两两相等的三种情况分别进行讨论. 在讨论之前,应该先求得这三个内角与α的关系,这样可以将两个内角相等的条件转化为关于α的方程,进而求得符合条件的α的值. 根据第(2)小题的思路可知,利用共用顶点O的四个角组成一个周角这一关系,可以得到∠AODα的关系式利用旋转变换的性质和等边三角形的性质,可以得到∠ADOα的关系式在△AOD中利用三角形内角和可以得到∠OADα的关系式. 在求得这些关系式后,依照上述的解题思路进行分情况讨论即可.

试题解析

(1) 证明

∵△BOC绕点C旋转得到△ADC

∴△BOC≌△ADC

OC=DC

∵△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得到△ADC

∴∠OCD=60°

∴△COD是等边三角形.

(2) AOD是两个锐角分别为40°50°的直角三角形. 理由如下.

∵△COD是等边三角形

∴∠COD=ODC=60°

∵△BOC≌△ADC

又∵α=150°

∴∠BOC=ADC=α=150°.

∴∠ADO=ADC-ODC=150°-60°=90°

∴△AOD是直角三角形.

∵∠AOB+BOC+COD+AOD=360°

又∵∠AOB=110°BOC=α=150°COD=60°

∴∠AOD=360°-AOB-BOC-COD=360°-110°-150°-60°=40°

∴在RtAODOAD=90°-AOD=90°-40°=50°.

∴△AOD是两个锐角分别为40°50°的直角三角形.

(3) ∵△COD是等边三角形

∴∠COD=CDO=60°.

∵∠AOB=110°COD=60°

∴∠AOD=360°-AOB-BOC-COD=360°-110°-α-60°=190°-α.

∵∠BOC=ADC=α

∴∠ADO=ADC-CDO=α-60°.

∴在△AODOAD=180°-AOD-ADO=180°-(190°-α)-(α-60°)=50°.

根据题意,△AOD的三个内角两两相等均可以使△AOD为等腰三角形

故应该对下面三种情况分别进行讨论.

①若∠ADO=AODα-60°=190°-αα=125°.

②若∠ADO=OADα-60°=50°α=110°.

③若∠OAD=AOD50°=190°-αα=140°.

综上所述,当α125°110°140°时,△AOD是等腰三角形.

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