Question

【题目】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC，对角线AC、BD交于点O，BD平分∠ABC，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，连接OE．

（1）求证：四边形ABCD是菱形；

（2）若DC＝2，AC＝4，求OE的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）4.

【解析】

（1）由AD∥BC，BD平分∠ABC，可得AD＝AB，结合AD∥BC，可得四边形ABCD是平行四边形，进而，可证明四边形ABCD是菱形，

（2）由四边形ABCD是菱形，可得OC＝AC＝2，在Rt△OCD中，由勾股定理得：OD＝4，根据“在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半”，即可求解.

（1）证明：∵AD∥BC，

∴∠ADB＝∠CBD，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD＝∠CBD，

∴∠ADB＝∠ABD，

∴AD＝AB，

∵AB＝BC，

∴AD＝BC，

∵AD∥BC，

∴四边形ABCD是平行四边形，

又∵AB＝BC，

∴四边形ABCD是菱形；

（2）解：∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，OB＝OD，OA＝OC＝AC＝2，

在Rt△OCD中，由勾股定理得：OD＝＝4，

∴BD＝2OD＝8，

∵DE⊥BC，

∴∠DEB＝90°，

∵OB＝OD，

∴OE＝BD＝4．