Question

【题目】已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（1，0）．

（1）当b＝2，c＝﹣3时，求二次函数的解析式及二次函数最小值；

（2）二次函数的图象经过点B（m，e），C（3﹣m，e）且对任意实数x，函数值y都不小于﹣．

①求此时二次函数的解析式；

②若次函数与y轴交于点D，在对称轴上存在一点P，使得PA+PD有最小值，求点P坐标及PA+PD的最小值．

Answer 1

【答案】（1）y＝（x+1）2-4，当x＝-1时，y最小值为-4；（2）①y＝x2﹣3x+2，②存在，P（，），2

【解析】

（1）利用待定系数法以及配方法即可解决问题．

（2）①首先求出b、c（用a表示），想办法列出不等式即可解决问题．

②根据解析式求得对称轴，然后根据对称性求得A的对称点的坐标，连接A′D交抛物线的对称轴与点P．此时PA+PD＝A′D，则PA+PD最小．

解：（1）将b＝2，c＝﹣3代入得：y＝ax2+2x﹣3．

将点A（1，0）代入y＝ax2+2x﹣3，得a+2﹣3＝0，

∴a＝1．

∴y＝x2+2x﹣3，

∵y＝（x+1）2﹣4，

∴当x＝﹣1时，y最小值为﹣4．

（2）①由题意可知：对称轴．

∴，

∴b＝﹣3a，又∵a+b+c＝0，

∴c＝2a，

∴y＝ax2﹣3ax+2a

顶点纵坐标为，

∵函数值y不小于﹣

∴a＞0，且，

∴a2﹣2a+1≤0，

∴（a﹣1）2≤0，

∵（a﹣1）2≥0，

∴a﹣1＝0，

∴a＝1．

∴抛物线的解析式为y＝x2﹣3x+2；

②如图所示：

求得A关于对称轴的对称点A′的坐标，连接A′D交抛物线的对称轴与点P．此时PA+PD＝A′D，则PA+PD最小，

∵y＝x2﹣3x+2＝（x﹣）2﹣ ，

∴对称轴为直线x＝，

∴A关于对称轴的对称点A′（2，0），

由y＝x2﹣3x+2可知D（0，2），

设直线A′D的解析式为y＝kx+n，

∴解得

∴直线A′D的解析式为y＝﹣x+2，

把x＝代入得，y＝，

∴P（，），

∵，

∴PA+PD的最小值为2