Question

10．如图，已知点A、B、C、D均在已知圆上，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠BAD=120°，四边形ABD的周长为15．
（1）求此圆的半径；
（2）求图中阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）先根据平行线的性质得出$\widehat{AB}$=$\widehat{CD}$，故可得出∠ABC=∠C=60°，连接OA，OB，可得出△OCD，△OAB与△OAD均为等边三角形，故可得出AD=AB=CD=3，由此可得出结论；
（2）由（1）知，AD=AB=OB=OA=3，故可得出四边形ABOD是菱形，再由SAS定理得出△ABE≌△ODE，故S_阴影=S_扇形AOD，由此可得出结论．

解答 解：（1）∵AD∥BC，∠C=60°，
$\widehat{AB}$=$\widehat{CD}$，
∴∠ABC=∠C=60°．
连接OA，OB，
∵OC=OD=3，∠C=60°，
∴△OCD是等边三角形．
同理可得，△OAB与△OAD均为等边三角形，
∴圆的半径是3；

（2）∵由（1）知，AD=AB=OB=OA=3，
∴四边形ABOD是菱形，
∴AE=OE，BE=DE，
在△ABE与△ODE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=OE}\\{∠AEB=∠OED}\\{BE=DE}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ODE（SAS），
∴S_阴影=S_扇形AOD=$\frac{60π×{3}^{2}}{360}$=$\frac{3}{2}$π．

点评 本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．