Question

如图，已知

AB

是以点O为圆心，OA长为半径的弧，OA⊥OB，C是

AB

的中点，OC与AB相交于点D，过D作DE∥OB，联结OE，交AB于F，求∠EOB的度数．

Answer 1

考点：圆心角、弧、弦的关系,含30度角的直角三角形,等腰直角三角形

专题：计算题

分析：作DG⊥OB于G，EH⊥OB于H，如图，由C是

AB

的中点，根据垂径定理的推论得OD⊥AB，而△AOB为等腰直角三角形，则∠OBA=45°，所以△ODB为等腰直角三角形，得到DG=

1

2

OB，再证明四边形DEHG为矩形，得到EH=DG=

1

2

OB，则EH=

1

2

OE，根据含30度的直角三角形三边的关系即可得到∠EOB=30°．

解答：解：作DG⊥OB于G，EH⊥OB于H，如图，
∵C是

AB

的中点，
∴OD⊥AB，
∵OA⊥OB，
而OA=OB，
∴△AOB为等腰直角三角形，
∴∠OBA=45°，
∴△ODB为等腰直角三角形，
∴DG=

1

2

OB，
∵DE∥GH，DG⊥OB，EH⊥OB，
∴四边形DEHG为矩形，
∴EH=DG=

1

2

OB，
而OB=OE，
∴EH=

1

2

OE，
∴∠EOH=30°，
即∠EOB=30°．

点评：本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了等腰直角三角形的判定与性质．