Question

已知：?ABCD的周长为52cm，DE⊥直线BC，DF⊥直线AB，垂足分别为E、F，且DE=5cm，DF=8cm，则BE+BF的值为

 

．

Answer 1

考点：平行四边形的性质,勾股定理

专题：分类讨论

分析：根据∠A为锐角或∠D为锐角分情况进行讨论，由?ABCD的周长为52cm，DE⊥直线BC，DF⊥直线AB，垂足分别为E、F，且DE=5cm，DF=8cm，构造方程求解即可求得答案．

解答：解：对于平行四边形ABCD有两种情况：
（1）当∠A为锐角时，如图1，
设BC=acm，AB=bcm，
∵平行四边形ABCD，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴AB×DE=BC×DF，AB=CD，BC=DA，
又∵DE=5cm，DF=8cm，
∴5a=8b，
∵平行四边形ABCD的周长为52，
∴2（a+b）=52，
∴a+b=26，
解方程组

5a=8b① a+b=26②

，
∴由②得：a=26-b  ③，
∴把③代入①得：b=10，
∴a=16，
∴BC=16cm，AB=10cm，
∴AB=CD=10cm，AD=BC=16cm，
∴在Rt△ADE中，CE=5

3

cm，
∴BE=BC-CE=16-5

3

（cm），
∴在Rt△ADF中，AF=8

3

cm，
∵F点在AB的延长线上，
∴BF=AF-AB=8

3

-10（cm），
∴BE+BF=（16-5

3

）+（8

3

-10）=6+3

3

（cm），

（2）当∠D为锐角时，如图2，
设BC=acm，AB=bcm，
∵平行四边形ABCD，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴AB×DE=BC×DF，AB=CD，BC=DA，
又∵DE=5cm，DF=8cm，
∴5a=8b，
∵平行四边形ABCD的周长为52，
∴2（a+b）=52，
∴a+b=26，
解方程组

5a=8b① a+b=26②

，
∴由②得：a=26-b  ③，
∴把③代入①得：b=10，
∴a=16，
∴BC=16cm，AB=10cm，
∴AB=CD=10cm，AD=BC=16cm，
∴在Rt△ADE中，CE=5

3

cm，
∴BE=BC+CE=16+5

3

（cm），
∴在Rt△ADF中，AF=8

3

cm，
∵F点在AB的延长线上，
∴BF=AF+AB=8

3

+10（cm），
∴BE+BF=（16+5

3

）+（8

3

+10）=26+13

3

（cm），
故答案为：（26+13

3

）cm或（6+3

3

）cm．

点评：本题主要考查平行四边形的性质，勾股定理，合并同类二次根式等知识点，关键在于根据∠A为锐角或∠D为锐角分情况进行讨论，根据平行四边形的面积公式和周长定理正确的列出方程组，并认真的求解，推出AB和BC的长度，熟练运用数形结合的思想进行求解．