Question

n为正整数，且n⁴+2n³+6n²+12n+25为完全平方数，n=

 

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Answer 1

考点：完全平方数

专题：

分析：将n⁴+2n³+6n²+12n+25变形可得n⁴+2n³+6n²+12n+25＞（n²+n+2）²，n⁴+2n³+6n²+12n+25＜（n²+n+5）²，从而得到n⁴+2n³+6n²+12n+25=（n²+n+3）²或n⁴+2n³+6n²+12n+25=（n²+n+4）²，解方程即可求解．

解答：解：n⁴+2n³+6n²+12n+25
=n⁴+2n³+n²+5n²+12n+25
=（n²+n+2）²+n²+8n+20＞（n²+n+2）²，
又∵n⁴+2n³+6n²+12n+25
=n⁴+2n³+n²+5n²+12n+25
=（n²+n+5）²+5n²+12n+25
=（n²+n+5）²-5n²+2n＜（n²+n+5）²，
∴n⁴+2n³+6n²+12n+25=（n²+n+3）²或n⁴+2n³+6n²+12n+25=（n²+n+4）²，
由n⁴+2n³+6n²+12n+25=（n²+n+3）²得：n²-6n-16=0，即（n-8）（n+2）=0，
∴n=8，此时n⁴+2n³+6n²+12n+25=5625=75²，
由n⁴+2n³+6n²+12n+25=（n²+n+4）²得：3n²-4n-9=0，无正整数解．
综上所述，n有唯一的正整数值8．
故答案为：8．

点评：考查了完全平方数，关键是熟练掌握完全平方公式，得到方程组n⁴+2n³+6n²+12n+25=（n²+n+3）²或n⁴+2n³+6n²+12n+25=（n²+n+4）²．