【题目】如图1,我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.
(1)概念理解:如图2,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,问四边形ABCD是垂美四边形吗?请说明理由.
(2)性质探究:试探索垂美四边形ABCD两组对边AB,CD与BC,AD之间的数量关系.
猜想结论:(要求用文字语言叙述)
写出证明过程(先画出图形,写出已知、求证).
(3)问题解决:如图3,分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE,连接CE,BG,GE,已知AC=4,AB=5,求GE长.
【答案】
(1)
解:四边形ABCD是垂美四边形.
证明:∵AB=AD,
∴点A在线段BD的垂直平分线上,
∵CB=CD,
∴点C在线段BD的垂直平分线上,
∴直线AC是线段BD的垂直平分线,
∴AC⊥BD,即四边形ABCD是垂美四边形
(2)垂美四边形两组对边的平方和相等
(3)
解:连接CG、BE,
∵∠CAG=∠BAE=90°,
∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC,即∠GAB=∠CAE,
在△GAB和△CAE中,
,
∴△GAB≌△CAE,
∴∠ABG=∠AEC,又∠AEC+∠AME=90°,
∴∠ABG+∠AME=90°,即CE⊥BG,
∴四边形CGEB是垂美四边形,
由(2)得,CG2+BE2=CB2+GE2,
∵AC=4,AB=5,
∴BC=3,CG=4 ,BE=5 ,
∴GE2=CG2+BE2﹣CB2=73,
∴GE= .
【解析】解:(2)猜想结论:垂美四边形的两组对边的平方和相等.
如图2,已知四边形ABCD中,AC⊥BD,垂足为E,
求证:AD2+BC2=AB2+CD2
证明:∵AC⊥BD,
∴∠AED=∠AEB=∠BEC=∠CED=90°,
由勾股定理得,AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2 ,
AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2 ,
∴AD2+BC2=AB2+CD2;
(1)根据垂直平分线的判定定理证明即可;(2)根据垂直的定义和勾股定理解答即可;(3)根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合(2)的结论计算.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】知识迁移我们知道,函数y=a(x﹣m)2+n(a≠0,m>0,n>0)的图象是由二次函数y=ax2的图象向右平移m个单位,再向上平移n个单位得到;类似地,函数y=+n(k≠0,m>0,n>0)的图象是由反比例函数y=的图象向右平移m个单位,再向上平移n个单位得到,其对称中心坐标为(m,n).
(1)理解应用
函数y=+1的图象可由函数y=的图象向右平移 个单位,再向上平移 个单位得到,其对称中心坐标为
(2)灵活应用如图,在平面直角坐标系xOy中,请根据所给的y=的图象画出函数y=﹣2的图象,并根据该图象指出,当x在什么范围内变化时,y≥﹣1?
(3)实际应用
某老师对一位学生的学习情况进行跟踪研究,假设刚学完新知识时的记忆存留量为1,新知识学习后经过的时间为x,发现该生的记忆存留量随x变化的函数关系为y1=;若在x=t(t≥4)时进行第一次复习,发现他复习后的记忆存留量是复习前的2倍(复习的时间忽略不计),且复习后的记忆存留量随x变化的函数关系为y2=,如果记忆存留量为时是复习的“最佳时机点”,且他第一次复习是在“最佳时机点”进行的,那么当x为何值时,是他第二次复习的“最佳时机点”?
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【题目】如图,△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O与BC相交于点D,与CA的延长线相交于点E,过点D作DF⊥AC于点F.
(1)试说明DF是⊙O的切线
(2)若AC=3AE,求tanC.
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【题目】如图,平面直角坐标系内,小正方形网格的边长为1个单位长度,△ABC的三个顶点的坐标分别为A(﹣1,3),B(﹣4,0),C(0,0)
(1)画出将△ABC向上平移1个单位长度,再向右平移5个单位长度后得到的△A1B1C1;
(2)画出将△ABC绕原点O顺时针方向旋转90°得到△A2B2O;
(3)在x轴上存在一点P,满足点P到A1与点A2距离之和最小,请直接写出P点的坐标.
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【题目】若关于x的一元二次方程(k﹣1)x2+4x+1=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是( )
A.k<5
B.k<5,且k≠1
C.k≤5,且k≠1
D.k>5
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【题目】如图,抛物线y=﹣x2﹣2x+3 的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边),与y轴交于点C
(1)求A、B、C的坐标;
(2)过抛物线上一点F作y轴的平行线,与直线AC交于点G.若FG= AC,求点F的坐标;
(3)E(0,﹣2),连接BE.将△OBE绕平面内的某点逆时针旋转90°得到△O′B′E′,O、B、E的对应点分别为O′、B′、E′.若点B′、E′两点恰好落在抛物线上,求点B′的坐标.
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【题目】在建立平面直角坐标系的方格纸中,每个小方格都是边长为1的小正方形,△ABC的顶点均在格点上,点P的坐标为(﹣1,0),请按要求画图与作答:
(1)把△ABC绕点P旋转180°得△A′B′C.
(2)把△ABC向右平移7个单位得△A″B″C″.
(3)△A′B′C与△A″B″C″是否成中心对称,若是,找出对称中心P′,并写出其坐标.
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【题目】已知,如图,Rt△ABC,∠ACB=90°,BC=6,AC=8,O为BC延长线上一点,CO=3,过O,A作直线l,将l绕点O逆时针旋转,l与AB交于点D,与AC交于点E,当l与OB重合时,停止旋转;过D作DM⊥AE于M,设AD=x,S△ADE=S.
(1)用含x的代数式表示DM,AM的长;
(2)当直线l过AC中点时,求x的值;
(3)用含x的代数式表示AE的长;
(4)求S与x之间的函数关系式;
(5)当x为多少时,DO⊥AB.
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