Question

16．如图①，A、B、C、D四点共圆，过点C的切线CE∥BD，与AB的延长线交于点E．
（1）求证：∠BAC=∠CAD；
（2）如图②，若AB为⊙O的直径，AD=6，AB=10，求CE的长；
（3）在（2）的条件下，连接BC，求$\frac{CB}{AC}$的值．

Answer 1

分析 （1）连结OC，如图①，根据切线的性质得OC⊥CE，由于CE∥BD，则OC⊥BD，再根据垂径定理得到$\widehat{CD}$=$\widehat{CB}$，然后利用圆周角定理可得∠BAC=∠CAD；
（2）如图②，连结OC交BD于E，由（1）得OC⊥BD，则BF=DF，根据圆周角定理得到∠D=90°，则利用勾股定理可计算出BD=8，所以BF=$\frac{1}{2}$BD=4，在Rt△OBF中计算出OF=3，再证明△OBF∽△OCE，然后利用相似比可计算出CE的长；
（3）先计算出CE=2，由于$\widehat{CD}$=$\widehat{CB}$，则∠CDB=∠CAB，根据正切定义得到tan∠CBE=$\frac{CE}{BE}$=$\frac{1}{2}$，则tan∠CBE=$\frac{1}{2}$tan∠CAB=$\frac{BC}{AC}$，即得到$\frac{BC}{AC}$=$\frac{1}{2}$．

解答 （1）证明：连结OC，如图①，
∵CE为切线，
∴OC⊥CE，
∵CE∥BD，
∴OC⊥BD，
∴$\widehat{CD}$=$\widehat{CB}$，
∴∠BAC=∠CAD；
（2）解：如图②，连结OC交BD于F，
由（1）得OC⊥BD，则BF=DF，
∵AB为直径，
∴∠D=90°，
∴BD=$\sqrt{A{B}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8，
∴BF=$\frac{1}{2}$BD=4，
在Rt△OBF中，OF=3，
∵BF∥CE，
∴△OBF∽△OCE，
∴BF：EC=OF：OC，即4：CE=3：5，
∴CE=$\frac{20}{3}$；
（3）解：∵OF=3，OC=5，
∴CF=5-3=2，
∵$\widehat{CD}$=$\widehat{CB}$，
∴∠CBD=∠CAB，
∵tan∠CBF=$\frac{CF}{BF}$=$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$，
∴tan∠CAB=tan∠CBF=$\frac{1}{2}$，
∵tan∠CAB=$\frac{BC}{AC}$，
∴$\frac{BC}{AC}$=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．