Question

4．如图，在△ABC中，D为AB的中点，DE∥BC，交AC于点E，DF∥AC，交BC于点F．
（1）求证：DE=BF；
（2）连接EF，请你猜想线段EF和AB有何关系？并对你的猜想加以证明．

Answer 1

分析 （1）利用平行线的性质得到相等的角，证明△ADE≌△DBF，即可得到DE=BF．
（2）EF∥AB且 EF=$\frac{1}{2}$AB，证明△DBF≌△FED，得到EF=BD=$\frac{1}{2}$AB，∠BDF=∠DFE，所以EF∥AB．

解答 （1）∵D为AB的中点，
∴AD=DB，
∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C
∵DF∥AC，
∴∠DFB=∠C，
∴∠AED=∠DFB，
在△ADE和△DBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADE=∠B}\\{∠AED=∠DFB}\\{AD=DB}\end{array}\right.$
∴△ADE≌△DBF，
∴DE=BF．
（2）EF∥AB且 EF=$\frac{1}{2}$AB，如图，

∵DE∥BC，
∴∠EDF=∠DFB，
在△DBF和△FED中，
$\left\{\begin{array}{l}{DE=BF}\\{∠EDF=∠DFB}\\{DF=FD}\end{array}\right.$
∴△DBF≌△FED
∴EF=BD=$\frac{1}{2}$AB，∠BDF=∠DFE，
∴EF∥AB．

点评 本题考查了全等三角形的性质定理与判定定理，解决本题的关键是利用平行线的性质得到相等的角证明三角形全等．