Question

【题目】（1）如图1，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连接AC和BD，相交于点E，连接BC．求∠AEB的大小；

（2）如图2，△OAB固定不动，保持△OCD的形状和大小不变，将△OCD绕点O旋转（△OAB和△OCD不能重叠），求∠AEB的大小．

Answer 1

【答案】（1）60°；（2）60°

【解析】试题分析：（1），由△DOC和△ABO都是等边三角形，且点O是线段AD的中点，可得OD=OC=OB=OA，∠1=∠2=60°，∠4=∠5，从而利用外角的性质可得∠AEB=∠4+∠6=∠4+∠5=∠2=60°；

（2）由△DOC和△ABO都是等边三角形，且点O是线段AD的中点，可得OD=OC=OB=OA，∠1=∠2=60°，∠4=∠5，∠6=∠7，根据三角形内角和可得∠5=∠6，从而利用外角的性质可得∠AEB=∠2+∠6﹣∠5=∠2+∠5﹣∠5=∠2.

解：（1）如图3，

∵△DOC和△ABO都是等边三角形，

且点O是线段AD的中点，

∴OD=OC=OB=OA，∠1=∠2=60°，

∴∠4=∠5．

又∵∠4+∠5=∠2=60°，

∴∠4=30°．

同理∠6=30°．

∵∠AEB=∠4+∠6，

∴∠AEB=60°．

（2）如图4，

∵△DOC和△ABO都是等边三角形，

∴OD=OC，OB=OA，∠1=∠2=60°．

∴OD=OB，OA=OC，

∴∠4=∠5，∠6=∠7．

∵∠DOB=∠1+∠3，

∠AOC=∠2+∠3，

∴∠DOB=∠AOC．

∵∠4+∠5+∠DOB=180°，∠6+∠7+∠AOC=180°，

∴2∠5=2∠6，

∴∠5=∠6．

又∵∠AEB=∠8﹣∠5，∠8=∠2+∠6，

∴∠AEB=∠2+∠6﹣∠5=∠2+∠5﹣∠5=∠2，

∴∠AEB=60°．