Question

已知，∠ACB=90°，∠A=60°，点A的坐标（-

3

，1），求：
（1）过点A、O、B三点的抛物线的解析式；
（2）△AOB内接圆圆心的坐标．

Answer 1

考点：三角形的外接圆与外心,待定系数法求二次函数解析式

专题：计算题

分析：（1）作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，如图，由点A的坐标（-

3

，1）得OC=

3

，AC=1，根据勾股定理计算出OA=2，根据含30度的直角三角形三边的关系得到∠AOC=30°，接着在Rt△AOC中计算出OB=

3

OA=2

3

，再利用补角的定义可计算出∠BOD=60°，于是可在Rt△BOD中计算出OD=

1

2

OB=

3

，BD=

3

OD=3，得到B点坐标为（

3

，3），然后利用待定系数法求过点A、O、B三点的抛物线的解析式；
（2）由于△ABC为直角三角形，AB为斜边，所以△AOB外接圆圆心为AB的中点，然后利用线段的中点坐标公式求解．

解答：解：（1）作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，如图，
∵点A的坐标（-

3

，1），
∴OC=

3

，AC=1，
∴OA=

AC2+OC2

=2，
∴∠AOC=30°，
在Rt△AOC中，∵∠A=60°，OA=2，
∴OB=

3

OA=2

3

，
∵∠AOB=90°，
∴∠BOD=60°，
在Rt△BOD中，∵∠OBD=30°，OB=2

3

，
∴OD=

1

2

OB=

3

，
BD=

3

OD=3，
∴B点坐标为（

3

，3），
设过点A、O、B三点的抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，
把A（-

3

，1）、O（0，0）、B（

3

，3）代入得

3a- 3 b+c=0 c=0 3a+ 3 b+c=3

，解得

a= 1 2 b= 3 2 c=0

，
∴过点A、O、B三点的抛物线的解析式为y=

1

2

x²+

3

2

x；
（2）∵A（-

3

，1）、B（

3

，3），
∴线段AB的中点坐标为（0，2），
即△AOB外接圆圆心的坐标为（0，2）．

点评：本题考查了三角形的外接圆与外心：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了待定系数法求二次函数解析式．