Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点P为AC边上的一点，将线段AP绕点A顺时针方向旋转（点P对应点P′），当AP旋转至AP′⊥AB时，点B、P、P′恰好在同一直线上，此时作P′E⊥AC于点E．

（1）求证：∠CBP=∠ABP；

（2）求证：AE=CP；

（3）当，BP′=5时，求线段AB的长．

Answer 1

（1）证明：∵AP′是AP旋转得到，

∴AP=AP′，

∴∠APP′=∠AP′P，

∵∠C=90°，AP′⊥AB，

∴∠CBP+∠BPC=90°，∠ABP+∠AP′P=90°，

又∵∠BPC=∠APP′（对顶角相等），

∴∠CBP=∠ABP；

（2）证明：如图，过点P作PD⊥AB于D，

∵∠CBP=∠ABP，∠C=90°，

∴CP=DP，

∵P′E⊥AC，

∴∠EAP′+∠AP′E=90°，

又∵∠PAD+∠EAP′=90°，

∴∠PAD=∠AP′E，

在△APD和△P′AE中，，

∴△APD≌△P′AE（AAS），

∴AE=DP，

∴AE=CP；

（3）解：∵=，

∴设CP=3k，PE=2k，

则AE=CP=3k，AP′=AP=3k+2k=5k，

在Rt△AEP′中，P′E==4k，

∵∠C=90°，P′E⊥AC，

∴∠CBP+∠BPC=90°，∠EP′P+∠P′PE=90°，

∵∠BPC=∠EPP′（对顶角相等），

∴∠CBP=∠P′PE，

又∵∠BAP′=∠P′EP=90°，

∴△ABP′∽△EPP′，

∴=，

即=，

解得P′A=AB，

在Rt△ABP′中，AB²+P′A²=BP′²，

即AB²+AB²=（5）²，

解得AB=10．