Question

18．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D的切线分别交AB、AC的延长线于点E、F．求证：AF+CF=AB．

Answer 1

分析 首先连接BD并延长，交AF的延长线于点H，连接CD，易证得△ADH≌△ADB，△CDF≌△HDF，继而证得AF+CF=AB．

解答 证明：连接BD并延长，交AF的延长线于点H，连接CD，如图．
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
即AD⊥BH，
∴∠ADB=∠ADH=90°，
在△ADH和△ADB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠HAD=∠BAD}\\{AD=AD}\\{∠ADH=∠ADB}\end{array}\right.$，
∴△ADH≌△ADB（ASA），
∴AH=AB．
∵EF是切线，
∴∠CDF=∠CAD，∠HDF=∠EDB=∠BAD，
∴∠CDF=∠HDF．
在△CDF与△HDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CDF=∠HDF}\\{DF=DF}\\{∠CFD=∠HFD=90°}\end{array}\right.$，
∴△CDF≌△HDF（ASA），
∴FH=CF，
∴AF+CF=AF+FH=AH=AB，
即AF+CF=AB．

点评 此题考查了切线的判定、弦切角定理、圆周角定理以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法．