Question

【题目】如图，已知和都是等边三角形，点、、在同一条直线上，交于点，交于点，、交于点.则下列结论：

①；②；③为等边三角形；④.其中正确的是（ ）

A. ①②③B. ①②④C. ②③④D. ①③④

Answer 1

【答案】D

【解析】

（1）根据等边三角形的性质得CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝60°，∠DCE＝60°，则∠ACE＝60°，利用“SAS”可判断△ACD≌△BCE，则AD＝BE；

（2）由△ACD≌△BCE得到∠CAD＝∠CBE，然后根据“ASA”判断△ACN≌△BCM，所以AN＝BM；

（3）由△ACN≌△BCM得到CN＝BM，加上∠MCN＝60°，则根据等边三角形的判定即可得到△MNC为等边三角形；

（4）根据三角形内角和定理可得∠CAD＋∠CDA＝60°，而∠CAD＝∠CBE，则∠CBE＋∠CDA＝60°，然后再利用三角形内角和定理即可得到∠BOD＝120°.

（1）∵△ABC和△CDE都是等边三角形，

∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝60°，∠DCE＝60°，

∴∠ACE＝60°，

∴∠ACD＝∠BCE＝120°，

在△ACD和△BCE中，

，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴AD＝BE；故①正确；

（2）无法证明，故②错误；

（3））∵△ACD≌△BCE，

∴∠CAD＝∠CBE，

在△ACN和△BCM中，

，

∴△ACN≌△BCM（ASA），

∴CN＝BM，

而∠MCN＝60°，

∴△CMN为等边三角形；故③正确；

（4）∵∠CAD＋∠CDA＝60°，

而∠CAD＝∠CBE，

∴∠CBE＋∠CDA＝60°，

∴∠BOD＝120°；故④正确；

故选：D