Question

10．如图，AB为半圆的直径，O为圆心，C为圆弧上一点，AD垂直于过C点的直线CD，垂足为D，AB的延长线交直线CD于点E，连接OD交AC于点G，AC平分∠DAB．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若$\frac{CG}{GA}$=$\frac{3}{4}$，求$\frac{OE}{AE}$的值．

Answer 1

分析 （1）连结OC，根据角平分线的性质得到∠DAC=∠CAB，根据等腰三角形的性质得到∠CAB=∠ACO，等量代换得到∠DAC=∠ACO，推出AD∥OC，根据平行线的性质得到OC⊥DE，即可得到结论；
（2）由于OC∥AD，推出△OCG∽△DAG，根据相似三角形的性质得到$\frac{OC}{DA}$=$\frac{CG}{AG}$=$\frac{3}{4}$，由于OC∥AD，推出△ECO∽△EDA，根据相似三角形的性质即可得到结论．

解答 （1）证明：连结OC，如图，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠CAB，
∵OA=OC，
∴∠CAB=∠ACO，
∴∠DAC=∠ACO，
∴AD∥OC，
∵AD⊥DE，
∴OC⊥DE，
∴CD是⊙O的切线；

（2）解：∵OC∥AD，
∴△OCG∽△DAG，
∴$\frac{OC}{DA}$=$\frac{CG}{AG}$=$\frac{3}{4}$，
∵OC∥AD，
∴△ECO∽△EDA，
∴$\frac{OE}{AE}$=$\frac{OC}{AD}$=$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．