Question

5．如图，在直角坐标系中，点A（-3，0）和点B（1，0）以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴负半轴上一点，连接DP，过点P作DP的垂线与y轴负半轴交于点E，PD=PE，连接DE．
（1）求点D的坐标；
（2）求直线DE的解析式；
（3）求△ADF的周长．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质，可得AD的长，AO的长，可得D点坐标；
（2）根据全等三角形的判定与性质，可得OE的长，根据待定系数法，可得答案；
（3）根据自变量与函数值的对应关系，可得F点坐标，根据线段的和差，可得AF的长，根据勾股定理，可得DF的长，根据三角形的周长公式，可得答案．

解答 解：（1）由四边形ABCD是正方形，得
AD=AB=1-（-3）=4，AO=3，
D点坐标为（-3，4）；
（2）由DP⊥PE于E，PD=PE，得
∠DPE=∠DPA+∠EPO=90．，
又∵∠PDA+∠DPA=90°，
∴∠PDA=∠EPO．
在△PDA和△EPO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PDA=∠EPO}\\{∠PAD=∠EOP}\\{PE=EP}\end{array}\right.$，
∴△PDA≌△EPO （AAS），
∴AD=PO=4，PA=OE．
PA=OP-AO=4-3=1，
OE=1，即E（0，-1）．
设DE的解析式为y=kx+b，将E、D点坐标代入，得
$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=4}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{5}{3}}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
DE的解析式为y=-$\frac{5}{3}$x-1；
（3）当y=0时，-$\frac{5}{3}$x-1=0，解得x=-$\frac{3}{5}$，
即F（-$\frac{3}{5}$，0）．
AF的长为-$\frac{3}{5}$-（-3）=$\frac{12}{5}$，
由勾股定理，得
DF=$\sqrt{A{F}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{12}{5}）^{2}+{4}^{2}}$=$\frac{4\sqrt{33}}{5}$，
C_△ADF=AD+AF+DF=4+$\frac{12}{5}$+$\frac{4\sqrt{33}}{5}$=$\frac{32+4\sqrt{33}}{5}$．

点评 本题考查了一次函数综合题，利用正方形的性质得出AD的长是解题关键；利用全等三角形的判定与性质得出OE的长是解题关键；利用勾股定理得出DF的长是解题关键．