Question

15．已知正六边形ABCDEF的对角线DF与对角线AE、CE分别交于点G和H，求证：FG=GH=HD．

Answer 1

分析 由正六边形的性质得出AF=EF=DE=CD，∠AFE=∠DEF=∠CDE=120°，由等腰三角形的性质得出∠GEF=∠GFE=∠HED=∠HDE=30°，得出FG=EG，HD=HE，由三角形的外角性质得出∠EGH=∠EHG=60°，证出△EGH是等边三角形，得出GH=EG=HE，即可得出结论．

解答 证明：如图所示：
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴AF=EF=DE=CD，∠AFE=∠DEF=∠CDE=120°，
∴∠GEF=∠GFE=∠HED=∠HDE=30°，
∴FG=EG，HD=HE，∠EGH=30°+30°=60°，
同理：∠EHG=60°，
∴∠GEH=60°=∠EGH=∠EHG，
∴△EGH是等边三角形，
∴GH=EG=HE，
∴FG=GH=HD．

点评 本题考查了正六边形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握正六边形的性质，证明△EGH是等边三角形是解决问题的关键．