【题目】在等边三角形ABC中,点E在AB上,点D在CB的延长线上,且AE=BD,
(1)当点E为AB的中点时,如图1,求证:EC=ED;
(2)当点E不是AB的中点时,如图2,过点E作EF∥BC,求证:△AEF是等边三角形;
(3)在第(2)小题的条件下,EC与ED还相等吗,请说明理由.
【答案】
(1)证明:如图1,在等边△ABC中,AB=BC=AC,
∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°,
∵AE=EB=BD,
∴∠ECB= ∠ACB=30°,∠EDB=∠DEB=
∠ACB=30°,
∴∠EDB=∠ECB,
∴EC=ED
(2)证明:如图2,∵EF∥BC,
∴∠AEF=∠ABC=60°,∠AFE=∠C=60°,
∴△AEF为等边三角形
(3)证明:EC=ED;
理由:∵∠AEF=∠ABC=60°,
∴∠EFC=∠DBE=120°,
∵AB=AC,AE=AF,
∴AB﹣AE=AC﹣AF,即BE=FC,
在△DBE和△EFC中,
,
∴△DBE≌△EFC(SAS),
∴ED=EC.
【解析】(1)根据等边三角形三线合一的性质可得∠ECB=30°,∠ABC=60°,根据AE=EB=BD,可得∠ECB= ∠ACB=30°,∠EDB=∠DEB=
∠ACB=30°,根据等角对等边即可证得结论;(2)根据平行线的性质证得∠AEF=∠ABC=60°,∠AFE=∠C=60°,即可证得结论;(3)先求得BE=FC,然后证得△DBE≌△EFC即可;
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【题目】如图,在AC⊥BC,过点C的直线MN∥AB,D为AB边上一点,且AD=4,过点D作DE⊥BC,交直线MN于E,垂足为F,连接CD、BE.
(1)求CE的长;
(2)当D在AB中点时,四边形BECD是什么特殊四边形?说明你的理由;
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【题目】如图,已知⊙O的半径OA的长为2,点B是⊙O上的动点,以AB为半径的⊙A与线段OB相交于点C,AC的延长线与⊙O相交于点D.设线段AB的长为x,线段OC的长为y.
(1)求y关于x的函数解析式,并写出定义域;
(2)当四边形ABDO是梯形时,求线段OC的长.
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【题目】作图:已知线段a、b,请用尺规作线段EF使EF=a+b.请将下列作图步骤按正确的顺序排列出来(只填序号)_____.
作法:①以M为端点在射线MG上用圆规截取MF=b;②作射线EG;③以E为端点在射线EG上用圆规截取EM=a;④EF即为所求的线段.
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【题目】有两种包装盒,大盒比小盒可多装20克某一物品.已知120克这一物品单独装满小盒比单独装满大盒多1盒.
(1)问小盒每个可装这一物品多少克?
(2)现有装满这一物品两种盒子共50个.设小盒有n个,所有盒子所装物品的总量为w克.
①求w关于n的函数解析式,并写出定义域;
②如果小盒所装物品总量与大盒所装物品总量相同,求所有盒子所装物品的总量.
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【题目】综合题。
(1)将△ABC向下平移1个单位,向右平移7个单位,在给定方格纸中画出平移后的△A′B′C′;画出AB边上的中线CD;画出BC边上的高线AE;
(2)△A′B′C′的面积为 .
(3)在右图中能使S△PAC=S△ABC的格点P的个数有个(点P异于B)
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【题目】在等边△ABC外侧作直线AP,点B关于直线AP的对称点为D,连接BD,CD,其中CD交直线AP于点E.
(1)依题意补全图1;
(2)若∠PAB=30°,求∠ACE的度数;
(3)如图2,若60°<∠PAB<120°,判断由线段AB,CE,ED可以构成一个含有多少度角的三角形,并证明.
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