【题目】如图,抛物线经过,,与y轴交于点C,点P是抛物线上BC上方的一个动点.
(1)求这条抛物线对应的函数表达式:
(2)当PAC的面积时,求点P的坐标;
(3)若抛物线上有另一动点Q,满足BC平分,过点O作PQ的平行线交抛物线于点D,求点D的坐标.
【答案】(1);(2)(1,4);(3)或.
【解析】
(1)将,代入,利用待定系数法即可求出函数表达式;
(2)如图1,过P作PQ⊥x轴交AC于点M,设,则,
用代数式表示出,解方程即可得P的横坐标,从而得解;
(3)如图2,过点P分别作x轴,y轴的平行线,过Q作y轴的垂线.设,,由角平分线和平行线的性质得到∠CPE=∠CQF,再根据正切的定义得到,进而得到∠PQH的正切值,从而得出直线OD的解析式,再联立方程组求出D的坐标.
(1)由题意将,代入得:
解得:
抛物线的解析式为:
(2)如图1,过P作PQ⊥x轴交AC于点M,
∵
∴C(0,3),又A(3,0),
可得直线AC:y=-x+3,
设,则,
∴,
∵
解得(此时点P与B重合,不合题意舍去)
∴可得;
(3)如图2,过点P分别作x轴,y轴的平行线,过Q作y轴的垂线,
设,.
由角平分线和平行线的性质得到易得∠CPE=∠CQF,
故,即:
=2
可得直线OD:,
联立两直线得方程组:
解得:
或.
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【题目】如图所示,抛物线y=ax2+bx+4的顶点坐标为(3,),与y轴交于点A.过点A作AB∥x轴,交抛物线于点B,点C是第四象限的抛物线上的一个动点,过点C作y轴的平行线,交直线AB于点D.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)若点E在y轴的负半轴上,且AE=AD,直线CE交抛物线y=ax2+bx+4于点F.
①求点F的坐标;
②过点D作DG⊥CE于点G,连接OD、ED,当∠ODE=∠CDG时,求直线DG的函数表达式.
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【题目】武汉某超市在疫情前用3000元购进某种干果销售,发生疫情后,为了保障附近居民的生活需求,又调拨9000元购进该种干果.受疫情影响,交通等成本上涨,第二次的进价比第一次进价提高了20%,但是第二次购进干果的数量是第一次的2倍还多300千克,如果超市先按每千克9元的价格出售,当大部分干果售出后,最后的600千克按原售价的7折售完.售卖结束后,超市决定将盈利的资金捐助给武汉市用于抗击新冠肺炎疫情.那么该超市可以捐助___________元.
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【题目】直线与轴、轴分别交于点、,抛物线经过点、点,与轴交于点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图1,点在轴上,连接,若,求点的坐标;
(3)如图2,将抛物线平移,使其顶点是坐标原点,得到抛物线,平移直线经过原点,交抛物线于点.点,点是第一象限内一动点,交于点,轴分别交、于、,试探究与之间的数量关系.
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【题目】如图,直线y=-2x+4与坐标轴分别交于C、B两点,过点C作CD⊥x轴,点P是x轴下方直线CD上的一点,且△OCP与△OBC相似,求过点P的双曲线解析式.
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【题目】已知,抛物线与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),且AB=4,顶点P(3,-4).
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点M在抛物线上,且△MAB的面积为24,求M点的坐标.
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【题目】为响应市政府关于“垃圾不落地市区更美丽”的主题宣传活动,某校随机调查了部分学生对垃圾分类知识的掌握情况.调查选项分为“A:非常了解,B:比较了解,C:了解较少,D:不了解”四种,并将调查结果绘制成两幅不完整的统计图.请根据图中提供的信息,解答下列问题:
(1)把两幅统计图补充完整;
(2)若该校学生有2000名,根据调查结果,估计该校“非常了解”与“比较了解”的学生共有 名;
(3)已知“非常了解”的同学有3名男生和1名女生,从中随机抽取2名进行垃圾分类的知识交流,请用画树状图或列表的方法,求恰好抽到一男一女的概率.
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【题目】如图1,是一款常见的海绵拖把,图2是其平面示意图,EH是拖把把手,F是把手的一个固定点,海绵安装在两片活动骨架PA,PB上,骨架的端点P只能在线段FH上移动,当海绵完全张开时,PA,PB分别与HMHN重合;当海绵闭合时,PA,PB与FH重合.已知直杆EH=120cm,FH=20cm.
(1)若∠APB=90°,求EP的长(结果保留根号)
(2)若∠APB=26°,求MA的长(结果保留小数点后一位)
(3)海绵从完全张开到闭合的过程中,直接写出PA的中点Q运动的路径长.(参考数据:sin13°≈0.225,cos13°≈0.974,tan13°≈0.231,π取3.14)
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