Question

【题目】如图所示，抛物线y＝ax2+bx+4的顶点坐标为(3，)，与y轴交于点A．过点A作AB∥x轴，交抛物线于点B，点C是第四象限的抛物线上的一个动点，过点C作y轴的平行线，交直线AB于点D．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）若点E在y轴的负半轴上，且AE＝AD，直线CE交抛物线y＝ax2+bx+4于点F．

①求点F的坐标；

②过点D作DG⊥CE于点G，连接OD、ED，当∠ODE＝∠CDG时，求直线DG的函数表达式．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①F(4，6)；②

【解析】

（1）首先根据抛物线的顶点可设出该抛物线的顶点式为，据此进一步将其化为一般式，利用其常数项为4得出关于a的方程，最后进一步分析求解即可；

（2）①设C（m，），由此分析得出E（0，4m），接着求出CE的解析式，然后进一步得出点F的横坐标为4，据此根据抛物线解析式进一步求解即可得出答案；②如图，过E作EH⊥CD于H，交DG于Q，连接OQ，证明四边形AEHD是正方形求出∠ODQ，进一步证明，，，由此表示出OE，EQ，OQ的长，在中，由勾股定理得：，据此列方程得出m的值，确定D和Q的坐标，利用待定系数法进一步求解即可得出答案．

（1）∵抛物线的顶点坐标为（3，），

∴设该抛物线顶点式为，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴抛物线解析式为；

（2）如图1，设C（m，）；

∵AD＝AE，AD∥x轴，CD∥y轴，

∴AD＝AE＝m，

∵OA＝4，

∴OE＝m4，

∵点E在y轴的负半轴上，

∴E（0，4m），

设CE的解析式为：，

则，

解得，

∴CE的解析式为：，

∴

∴

∴化简变形可得：，

∴，，

即点F横坐标为4，

∴纵坐标为：，

∴定点F（4，6）；

②如图2，过E作EH⊥CD于H，交DG于Q，连接OQ，

由①知：OE＝m4，

∵∠DAE＝∠ADH＝∠EHD＝90°，AD＝AE，

∴四边形AEHD是正方形，

∴∠EDH＝45°，AD＝AE＝DH＝EH，

∵∠ODE＝∠CDG，

∴∠ODE+∠EDQ＝∠EDQ+∠CDG＝45°，

即∠ODQ＝45°，

∴∠ADO+∠CDG＝45°，

在OA的延长线上取AP＝QH，连接PD，

∵∠PAD＝∠QHD＝90°，AD＝DH，

∴，

∴PD＝DQ，∠ADP＝∠CDG，AP＝QH，

∴∠ADP+∠ADO＝45°＝∠ODQ，

∵OD＝OD，

∴，

∴OP＝OQ，

∵EH＝DH，∠EHC＝∠DHQ，∠GEH＝∠CDG，

∴，

∴CH＝QH＝＝AP，

∴OQ＝OP＝，

∵OE＝m4，EQ＝EHQH＝＝，

在中，由勾股定理得：，

∴，

∴，

解得：（舍去），，（舍去），

∴D（12，4），Q（6，8），

设直线DG的解析式为：，

则，

解得：，

∴直线DG的解析式为：.