Question

【题目】设a1＝32﹣12，a2＝52﹣32，a3＝72﹣52…，容易知道a1＝8，a2＝16，a3＝24，如果一个数能表示为8的倍数，我们就说它能被8整数，所以a1，a2，a3都能被8整除．

（1）试探究an是否能被8整除，并用文字语言表达出你的结论．

（2）若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”，试找出a1，a2，a3…an这一系列数中从小到大排列的前4个完全平方数，并说出当n满足什么条件时，an为完全平方数．

Answer 1

【答案】（1）能被8整除；（2）n为一个完全平方数两倍时，an是完全平方数．

【解析】

（1）由题意可得，相邻俩奇数、的平方差，化简结果为8的倍数，可被8整除；

（2）由找到前四个完全平方数，从下标2、8、18、32可知它们是一个完全平方数的2倍．

（1）由题意得：

∴an能被8整除．

（2）由（1）知an＝8n，

当n＝2时，，是完全平方数；

当n＝8时，，是完全平方数；

当n＝18时，，是完全平方数；

当n＝32时，，是完全平方数．

这一系列数中从小到大排列的前4个完全平方数依次为：16、64、144、256．

由a2、a8、a18、a32四个完全平方数可知n＝2×m2，

所以n为一个完全平方数两倍时，an是完全平方数．