Question

10．已知Rt△ABC的斜边AB=10cm，AC=6cm，以点C为圆心、半径分别为2cm和6cm画两个圆，这两个圆与AB有怎样的位置关系？半径为多长时，AB与⊙C相切？

Answer 1

分析 作CD⊥AB于D，由勾股定理求出BC，由△ABC的面积的两种计算方法求出CD，即圆心C到直线AB的距离d=4.8cm；由d＞r，圆与直线相离；d＜r，圆与直线相交；d=r，直线与圆相切，即可得出结果．

解答 解：作CD⊥AB于D，如图所示：
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8（cm），
∵△ABC的面积=$\frac{1}{2}$AB•CD=$\frac{1}{2}$AC•BC，
∴AB•CD=AC•BC，
即10×CD=6×8，
解得：CD=4.8（cm），
即圆心到直线AB的距离d=4.8cm；
∵4.8cm＞2cm，
∴半径为2cm的圆与AB相离；
∵4.8cm＜6cm，
∴半径为6cm的圆与AB相交；
半径为4.8cm时，AB与⊙C相切．

点评 本题考查了直线与圆的位置关系、勾股定理、三角形面积的计算方法；熟记d＞r，圆与直线相离；d＜r，圆与直线相交；d=r，直线与圆相切是解决问题的关键．