Question

5．先阅读，再解答：
小明在解答“对称轴经过点（1，3）的抛物线过点（3，8），且其函数的最小值为4，求这条抛物线所对应的函数表达式”这个问题时，他是这样解的：
设所求抛物线对应的函数表达式为y=a（x-1）²+3（a≠0），
∵抛物线过点（3，8），
∴a（3-1）²+3=8，解得a=$\frac{5}{4}$，
∴这条抛物线所对应的函数表达式为y=$\frac{5}{4}$（x-1）²+3．
你认为小明的解法正确吗？若不正确，请写出正确的答案．

Answer 1

分析 抛物线的顶点坐标为（1，4），而不是（1，3），于是可判断小明的解法不正确，然后再利用待定系数法求抛物线解析式．

解答 解：小明的解法不正确．
正确解法如下：
∵抛物线的对称轴过（1，3），
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
而函数的最小值为4，
∴抛物线的顶点坐标为（1，4），
设所求抛物线对应的函数表达式为y=a（x-1）²+4（a≠0），
∵抛物线过点（3，8），
∴a（3-1）²+4=8，解得a=1，
∴这条抛物线所对应的函数表达式为y=（x-1）²+4．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．本题的关键是确定抛物线的顶点坐标．