Question

【题目】如图，已知正方形ABCD的边长为1，P是对角线AC上任意一点，E为AD上的点，且∠EPB=90°，PM⊥AD，PN⊥AB．

（1）求证：四边形PMAN是正方形；

（2）求证：EM=BN；

（3）若点P在线段AC上移动，其他不变，设PC=x，AE=y，求y关于x的解析式．

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3) y=﹣x+1.

【解析】

(1)由四边形ABCD是正方形，易得∠BAD=90°，AC平分∠BAD，又由PM⊥AD，PN⊥AB，即可证得四边形PMAN是正方形；

(2)由四边形PMAN是正方形，易证得△EPM≌△BPN，即可证得：EM=BN；

(3)首先过P作PF⊥BC于F，易得△PCF是等腰直角三角形，继而证得△APM是等腰直角三角形，可得AP=AM=(AE+EM)，即可得方程﹣x=(y+x)，继而求得答案．

(1)∵四边形ABCD是正方形，

∴AC平分∠BAD，

∵PM⊥AD，PN⊥AB，

∴PM=PN，

又∵∠BAD=90°，∠PMA=∠PNA=90°，

∴四边形PMAN是矩形，

∴四边形PMAN是正方形；

(2)∵四边形PMAN是正方形，

∴PM=PN，∠MPN=90°，

∵∠EPB=90°，

∴∠MPE=∠NPB，

在△EPM和△BPN中，

，

∴△EPM≌△BPN(ASA)，

∴EM=BN；

(3)过P作PF⊥BC于F，如图所示：

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ABC=90°，AB=BC=1，∠PCF=45°，

∴AC==，△PCF是等腰直角三角形，

∴AP=AC﹣PC=﹣x，BN=PF=x，

∴EM=BN=x，

∵∠PAM=45°，∠PMA=90°，

∴△APM是等腰直角三角形，

∴AP=AM=(AE+EM)，

即﹣x=(y+x)，

解得：y=﹣x+1.