【题目】两个三角板ABC,DEF,按如图所示的位置摆放,点B与点D重合,边AB与边DE在同一条直线上(假设图形中所有的点,线都在同一平面内).其中,∠C=∠DEF=90°,∠ABC=∠F=30°,AC=DE=6cm.现固定三角板DEF,将三角板ABC沿射线DE方向平移,当点C落在边EF上时停止运动.设三角板平移的距离为x(cm),两个三角板重叠部分的面积为y(cm2).
(1)当点C落在边EF上时,x= cm;
(2)求y关于x的函数解析式,并写出自变量x的取值范围;
(3)设边BC的中点为点M,边DF的中点为点N.直接写出在三角板平移过程中,点M与点N之间距离的最小值.
【答案】(1)15;(2);(3).
【解析】
(1)由锐角三角函数,得到BG的长,进而可得GE的长,由矩形的性质,可得答案;
(2)分类讨论:①当0≤t<6时,根据三角形的面积公式,可得答案;②当6≤t<12时,③当12<t≤15时,根据面积的和差,可得答案;
(3)根据点与直线上所有点的连线中垂线段最短,可得M在线段NG上,根据三角形的中位线,可得NG的长,根据锐角三角函数,可得MG的长,根据线段的和差,可得答案.
解:(1)如图1所示:作CG⊥AB于G点.
,
在Rt△ABC中,由AC=6,∠ABC=30,得:BC==.在Rt△BCG中,BG=BCcos30°=9.四边形CGEH是矩形,CH=GE=BG+BE=9+6=15cm,故答案为15;
(2)①当0≤x<6时,如图2所示.
,
∠GDB=60°,∠GBD=30°,DB=x,得:DG=,BG=,重叠部分的面积为y=DGBG=××=;
②当6≤x<12时,如图3所示.
,
BD=x,DG=,BG=,BE=x﹣6,EH=.重叠部分的面积为y==DGBG﹣BEEH,即y=××﹣,化简,得;
③当12<x≤15时,如图4所示.
,
AC=6,BC=,BD=x,BE=(x﹣6),EG=,重叠部分的面积为y==ACBC﹣BEEG,即y=,化简,得=;
综上所述:;
(3)如图5所示作NG⊥DE于G点.
,
点M在NG上时MN最短,NG是△DEF的中位线,NG=EF=.
MB=CB=,∠B=30°,MG=MB=,
MN最小==.
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【题目】(1)观察猜想,如图①点B、A、C在同一条直线上,DB⊥BC,EC⊥BC且∠DAE=90°,AD=AE,则BC、BD、CE之间的数量关系为 ;
(2)问题解决,如图②,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,CB=6,AB=3,以AC为直角边向外作等腰Rt△DAC,连结BD,求BD的长;
(3)拓展延伸,如图③,在四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,CB=6,AB=3,DC=DA,请直接写出BD的长.
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【题目】为了保证端午龙舟赛在我市汉江水域顺利举办,某部门工作人员乘快艇到汉江水域考察水情,以每秒10米的速度沿平行于岸边的赛道AB由西向东行驶.在A处测得岸边一建筑物P在北偏东30°方向上,继续行驶40秒到达B处时,测得建筑物P在北偏西60°方向上,如图所示,求建筑物P到赛道AB的距离(结果保留根号).
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【题目】随着信息技术的迅猛发展,人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷.某校数学兴趣小组设计了一份调查问卷,要求每人选且只选一种你最喜欢的支付方式.现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图,请结合图中所给的信息解答下列问题:
(1)这次活动共调查了 人;在扇形统计图中,表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为 ;
(2)将条形统计图补充完整.观察此图,支付方式的“众数”是“ ”;
(3)在一次购物中,小明和小亮都想从“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付,请用画树状图或列表格的方法,求出两人恰好选择同一种支付方式的概率.
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【题目】解不等式组请结合题意填空,完成本题的解答.
(Ⅰ)解不等式①,得 ;
(Ⅱ)解不等式②,得 ;
(Ⅲ)把不等式①和②的阶级在数轴上表示出来;
(Ⅳ)原不等式组的解集为
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【题目】如图,我南海某海域A处有一艘捕鱼船在作业时突遇特大风浪,船长马上向我国渔政搜救中心发出求救信号,此时一艘渔政船正巡航到捕鱼船正西方向的B处,该渔政船收到渔政求救中心指令后前去救援,但两船之间有大片暗礁,无法直线到达,于是决定马上调整方向,先向北偏东60°方向以每小时40海里的速度航行半小时到达C处,同时捕鱼船低速航行到A点的正北2海里D处,渔政船航行到点C处时测得点D在南偏东53°方向上.
(1)求CD两点的距离;
(2)渔政船决定再次调整航向前去救援,若两船航速不变,并且在点E处相会合,求∠ECD的正弦值.(参考数据:,,,)
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【题目】如图,分别过第二象限内的点作,轴的平行线,与,轴分别交于点,,与双曲线分别交于点,.
下面三个结论,
①存在无数个点使;
②存在无数个点使;
③存在无数个点使.
所有正确结论的序号是__________.
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【题目】一天清晨,甲、乙两人在一条笔直的道路上同起点、同终点往返跑步.甲跑了分钟后乙再出发,当乙追上甲时,甲加快速度往前跑,先到达终点后立刻以加快后的速度返回起点.已知甲加速前、后分别保持匀速跑,乙全程均保持匀速跑下图是甲乙两人之间的距离(米)与甲跑步的时间(分)的部分函数图象.则当乙第一次到达终点时,甲距起点______米.
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【题目】如图,已知抛物线y=x2+bx+c经过△ABC的三个顶点,其中点A(0,1),点B(﹣9,10),AC∥x轴,点P时直线AC下方抛物线上的动点.
(1)求抛物线的解析式;(2)过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点E、F,当四边形AECP的面积最大时,求点P的坐标;
(3)当点P为抛物线的顶点时,在直线AC上是否存在点Q,使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似,若存在,求出点Q的坐标,若不存在,请说明理由.
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