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【题目】已知直线l1y=﹣x+bx轴交于点A,直线l2yxx轴交于点B,直线l1l2交与点C,且C点的横坐标为1

1)如图,过点Ax轴的垂线,若点Px2)为垂线上的一个点,Qy轴上一动点,若SCPQ5,求此时点Q的坐标;

2)若P在过Ax轴的垂线上,点Qy轴上的一个动点,当CP+PQ+QA的值最小时,求此时P的坐标;

3)如图,点E的坐标为(﹣20),将直线l1绕点C旋转,使旋转后的直线l3刚好过点E,过点C作平行于x轴的直线l4,点MN分别为直线l3l4上的两个动点,是否存在点MN,使得BMN是以M点为直角顶点的等腰直角三角形,若存在, 求出N点的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】1Q的坐标为(0,0)或(0-5);(2)点P的坐标为(﹣3,﹣);(3)①点N的坐标为(﹣16,﹣4),②点N的坐标为(﹣,﹣4)或(﹣16,﹣4).

【解析】

1)当x=1时,y=x,即点C的坐标为(1-4),将点C的坐标代入直线l1y=-x+b中,即可求直线l1解析式;再根据P点纵坐标为2,求出P点坐标,然后求出直线AC的解析式,因为直线ACy轴于点M,所以M横坐标为0,再求出纵坐标,最后根据SCPQQM×xCxP)==5,解得:yQ=0-5,即可得出结果;(2)根据最短路径问题可得:作C关于过A垂线的对称点C′(﹣7,﹣4)、A关于y轴的对称点A′30),连接A′C′交过A点的垂线与点P,交y轴于点Q,此时,CP+PQ+QA的值最小,解得直线A′C′的表达式,从而求得点P的坐标;(3)如图2,点E的坐标为(-20),将直线l1绕点C逆时针旋转,使旋转后的直线l3刚好过点E,过点C作平行于x轴的直线l4,点MN分别为直线l3l4上的两个动点,是否存在点MN,使得BMN是以M点为直角顶点的等腰直角三角形,若存在,直接写出N点的坐标;若不存在,请说明理由.

1)直线l2yx,令x1,则y=﹣4,故C1,﹣4),

C1,﹣4)代入直线l1y=﹣x+b,得:b=﹣3,则l1为:y=﹣x3 所以A(﹣30),所以点P坐标为(﹣32),如图,设直线ACy轴于点M

yPCmx+t得:,解得 yPC-1.5x-2.5,即M0-2.5).

SCPQQM×xCxP)==5,解得:yQ=0-5

Q的坐标为(0,0)或(0

2)确定C关于过A垂线的对称点C′(﹣7,﹣4)、A关于y轴的对称点A′30),

连接A′C′交过A点的垂线与点P,交y轴于点Q,此时,CP+PQ+QA的值最小,

将点A′C′点的坐标代入一次函数表达式:yk′x+b′得:,解得:

则直线A′C′的表达式为:yx,当x=﹣3时,y=﹣

即点P的坐标为(﹣3,﹣),

3)将EC点坐标代入一次函数表达式,同理可得其表达式为

①当点M在直线l4上方时,设点Nn,﹣4),点Ms,﹣s),点B40),

过点NB分别作y轴的平行线交过点Mx轴的平行线分别交于点RS

∵∠RMN+RNM90°,∠RMN+SMR90°

∴∠SMR=∠RNM

MRN=∠MSB90°MNMB

∴△MSB≌△NRMAAS),

RNMSRMSB

,解得

故点N的坐标为(﹣16,﹣4),

②当点Ml4下方时,如图1,过点MPQx轴,与过点By轴的平行线交于Q,与过点Ny轴的平行线交于P

同①的方法得,N(﹣,﹣4),

即:点N的坐标为(﹣,﹣4)或(﹣16,﹣4).

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