Question

如图，直线l₁：y₁=kx+b与反比例函数y₂=

m

x

相交于A（-1，4）和B（-4，a），直线l₂：y₃=-x+c与反比例函数y₂=

m

x

相交于B、C两点，交y轴于点D，连接OB、OC、OA．
（1）求反比例函数的解析式和c的值．
（2）求△BOC的面积
（3）直接写出当kx+b≥

m

x

时x的取值范围．
（4）若过原点O的直线交反比列函数于P、Q两点（P在第二象限、Q在第四象限）当以P、A、C、Q为顶点的四边形的面积为30时，求点Q的坐标．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：（1）利用待定系数法可求出m的值，即可求出点B的坐标，把点B代入直线l₂即可得出c的值．
（2）联立解出点C，D的坐标，利用S_△BOC=S_△BOD+S_△COD求解即可．
（3）由图象可得，-4≤x≤-1或x＞0．
（4）先得出P、A、C、Q为顶点的四边形是平行四边形，设Q（m，-

4

m

），由S_△COQ分两种情况求解即可．

解答：解：（1）∵A（-1，4）在反比例图象上，
∴m=-1×4=-4，
∴反比例函数的解析式为：y=

-4

x

，
∴B（-4，1），
把B（-4，1），代入y₃=-x+c得1=4+c，
∴c=-3；
（2）∵直线l₂与反比例函数，相交于B、C两点，
∴反比例函数与直线l₂联立得

y= -4 x y=-x-3

，解得

x=1 y=-4

或

x=-4 y=1

，
∴C（1，-4），B（-4，1）．
∵直线l₂交y轴于点D，
∴y₃=-3，
∴D（0，-3）．
∵OD=3，△BOD中OD边上的高为|-4|，△COD中OD边上的高为1，
∴S_△BOC=S_△BOD+S_△COD=

1

2

×3×4+

1

2

×3×1=

15

2

，
（3）由图象可得，-4≤x≤-1或x＞0时，有kx+b≥

m

x

，
（4）如图，

∵A（-1，4）和C（1，-4）关于原点对称，
∴直线AC过原点O，
∴由题意知以P、A、C、Q为顶点的四边形是平行四边形，
∴S_△COQ=

1

4

×30=

15

2

，
设Q（m，-

4

m

），
①

1

2

（

4

m

+4）（m-1）=

15

2

，化简得，4m²-15m-4=0，解得m=-

1

4

（舍去），m=4．
∴Q（4，-1），
②

1

2

（

4

m

+4）（1-m）=

15

2

，化简得，4m²+15m-4=0，解得m=

1

4

（舍去），m=-4．
∴Q（

1

4

，-16），
综上所述，点Q的坐标为（4，-1）或（

1

4

，-16）．

点评：本题主要考查了反比例函数的综合题，解题的关键是利用图象获取有用的信息．