Question

18．“低碳生活”作为一种健康、环保、安全的生活方式，受到越来越多人的关注．某公司生产的健身自行车在市场上受到普遍欢迎，在国内市场和国外市场畅销，生产的产品可以全部售出，在国内市场每辆的利润y₁（元）与销量x（万辆）的关系如图所示；在国外市场每辆的利润y₂ （元）与销量x（万量）的关系为：
y₂=$\left\{\begin{array}{l}-20x+360（0≤x≤6）\\ 240（4≤x≤10）\end{array}\right.$．
（1）求国内市场的销售总利润z₁（万元）关于销售量x（万辆）的函数关系式，并指出自变量的取值范围．
（2）该公司的年生产能力为10万辆，请帮助该公司确定国内、国外市场的销量各为多少时，公司的年利润最大？

Answer 1

分析 （1）根据图表中的数据，设出关系式，代入数据即可求出关系式；
（2）题中等量关系为：总利润=国内利润+国外利润，根据等量关系函数表达式，分段讨论出最大值即可解决．

解答 解：（1）y₁=$\left\{\begin{array}{l}400（0≤x≤4）\\-30x+520（4≤x≤10）\end{array}\right.$则Z₁=xy=$\left\{\begin{array}{l}400x（0≤x≤4）\\-30{x^2}+520x（4≤x≤10）\end{array}\right.$
（2）该公司在国外市场的利润Z₂=xy=$\left\{\begin{array}{l}-20{x^2}+360x（0≤x≤6）\\ 240x（6≤x≤10）\end{array}\right.$
该公司的年生产能力为10万辆，在国内市场销售t万辆时，在国外市场销售（10-t）万辆，则
Z₁=$\left\{\begin{array}{l}400t（0≤t≤4）\\-30{t^2}+520t（4≤t≤10）\end{array}\right.$，
Z₂=$\left\{\begin{array}{l}-20{（10-t）^2}+360（10-t）（0≤10-t≤6）\\ 240（10-t）（6≤10-t≤10）\end{array}\right.$=$\left\{\begin{array}{l}-20{t^2}+40t+1600（4≤t≤10）\\-240x+2400（0≤x≤4）\end{array}\right.$
设该公司每年的总利润为w（万元），则
W=Z₁+Z₂=$\left\{\begin{array}{l}160t+2400（0≤t≤4）\\-50{t^2}+560t+1600（4≤t≤10）\end{array}\right.$=$\left\{\begin{array}{l}160t+2400（0≤t≤4）\\-50{（t-\frac{28}{5}）^2}+3168（4≤t≤10）\end{array}\right.$
当0≤t≤4时，w随t的增大而增大，当t=4时，w取最大值，此时w=3040．当4≤t≤10时，当t=$\frac{28}{5}$时，w取最大值，此时w=3168．综合得：当t=$\frac{28}{5}$时，w的最大值为3168．此时，国内的销量为$\frac{28}{5}$万辆，国外市场销量为$\frac{22}{5}$万辆，总利润为3168万元．

点评 此题考查了二次函数的应用，涉及的知识有：一次函数的图象与性质，二次函数的图象与性质，分段函数，以及待定系数法确定函数解析式，是一道综合性较强的应用题．