Question

6．在平面直角坐标系中，点O为原点，抛物线y=ax²+bx（其中-1≤a＜0）经过A（3，n），AB⊥y轴于B，抛物线交直线AB于M．
（1）若n=1，AB=3BM，求抛物线所对应的函数关系式；
（2）若n=a+b，抛物线与x轴另一个异于原点的交点为C，过点A作AP∥OM交直线MC于点P，当△OPM的面积最大时，求sin∠MOP的值．

Answer 1

分析 （1）先利用AB=3，AB=3BM得到BM=1，则M（1，1），A（3，1），然后把M点和A点坐标代入y=ax²+bx得到关于a和b的方程组，再解方程组求出a和b即可得到抛物线所对应的函数关系式；
（2）先把A（3，a+b）代入y=ax²+bx可得b=-4a，则抛物线解析式为y=ax²-4ax，A（3，-3a），利用抛物线与x轴的交点问题可求出C（4，0），则抛物线的对称轴为直线x=2，利用抛物线的对称性得到M（1，-3a），由于AP∥OM，根据三角形面积公式有S_△OMP=S_△OMA=$\frac{1}{2}$×2×（-3a）=-3a，而-1≤a＜0，所以a=-1时，△OPM面积的最大值为3，此时M（1，3），A（3，3），接着利用待定系数法求出直线MC的解析式为y=-x+4，直线OM的解析式为y=3x，直线AP的解析式为y=3x-6，通过解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+4}\\{y=3x-6}\end{array}\right.$得P（$\frac{5}{2}$，$\frac{3}{2}$），则可利用勾股定理计算出OP=$\frac{\sqrt{34}}{2}$，作PH⊥OM于H，如图，由于OM=$\sqrt{10}$，S_△OMP=3，则利用三角形公式可计算出PH=$\frac{3\sqrt{10}}{5}$，然后在Rt△OPH中，利用正弦的定义求解．

解答 解：（1）∵A（3，n），
∴AB=3，
∵AB=3BM，
∴BM=1，
∵n=1，
∴M（1，1），A（3，1），
把M（1，1），A（3，1）代入y=ax²+bx得$\left\{\begin{array}{l}{a+b=1}\\{9a+3b=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{3}}\\{b=\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，
∴抛物线所对应的函数关系式为y=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{4}{3}$x；
（2）把A（3，a+b）代入y=ax²+bx得9a+3b=a+b，则b=-4a，
∴抛物线解析式为y=ax²-4ax，A（3，-3a），
当y=0时，ax²-4ax=0，解得x₁=0，x₂=4，则C（4，0），
∴抛物线的对称轴为直线x=2，
∵点A与点M关于直线x=2对称，
∴M（1，-3a），
∵AP∥OM，
∴S_△OMP=S_△OMA=$\frac{1}{2}$×2×（-3a）=-3a，
而-1≤a＜0，
∴当△OPM的面积最大时，a=-1，
即a=-1时，△OPM的面积为3，
∴M（1，3），A（3，3），
设直线MC的解析式为y=kx+m，
把M（1，3），C（4，0）代入得$\left\{\begin{array}{l}{k+m=3}\\{4k+m=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{m=4}\end{array}\right.$，
∴直线MC的解析式为y=-x+4，
易得直线OM的解析式为y=3x，
∵AP∥MO，
∴设直线AP的解析式为y=3x+p，
把A（3，3）代入得9+p=3，解得p=-6，
∴直线AP的解析式为y=3x-6，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+4}\\{y=3x-6}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{5}{2}}\\{y=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，则P（$\frac{5}{2}$，$\frac{3}{2}$），
∴OP=$\sqrt{（\frac{5}{2}）^{2}+（\frac{3}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{34}}{2}$，
作PH⊥OM于H，如图，
∵OM=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，S_△OMP=3，
∴$\frac{1}{2}$×$\sqrt{10}$×PH=3，
∴PH=$\frac{3\sqrt{10}}{5}$，
在Rt△OPH中，sin∠HOP=$\frac{PH}{OP}$=$\frac{\frac{3\sqrt{10}}{5}}{\frac{\sqrt{34}}{2}}$=$\frac{6\sqrt{85}}{85}$，
即sin∠MOP=$\frac{6\sqrt{85}}{85}$．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数的性质、抛物线与x轴的交点问题和两直线平行或相交的问题；会利用待定系数法求一次函数与二次函数的解析式；理解坐标与图形性质．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．