Question

16．已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A坐标为（0，8），点B坐标为（4，0），点E是直线y=x+4上的一个动点，若∠EAB=∠ABO，则点E的坐标为（4，8）或（-12，-8）．

Answer 1

分析 分两种情况：当点E在y轴右侧时，由条件可判定AE∥BO，容易求得E点坐标；当点E在y轴左侧时，可设E点坐标为（a，a+4），过AE作直线交x轴于点C，可表示出直线AE的解析式，可表示出C点坐标，再根据勾股定理可表示出AC的长，由条件可得到AC=BC，可得到关于a的方程，可求得E点坐标．

解答 解：
当点E在y轴右侧时，如图1，连接AE，

∵∠EAB=∠ABO，
∴AE∥OB，
∵A（0，8），
∴E点纵坐标为8，
又E点在直线y=x+4上，把y=8代入可求得x=4，
∴E点坐标为（4，8）；
当点E在y轴左侧时，过A、E作直线交x轴于点C，如图2，

设E点坐标为（a，a+4），设直线AE的解析式为y=kx+b，
把A、E坐标代入可得$\left\{\begin{array}{l}{b=8}\\{ak+b=a+4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{a-4}{a}}\\{b=8}\end{array}\right.$，
∴直线AE的解析式为y=$\frac{a-4}{a}$x+8，令y=0可得$\frac{a-4}{a}$x+8=0，解得x=$\frac{8a}{4-a}$，
∴C点坐标为（$\frac{8a}{4-a}$，0），
∴AC²=OC²+OA²，即AC²=（$\frac{8a}{4-a}$）²+8²，
∵B（4，0），
∴BC²=（4-$\frac{8a}{4-a}$）²=（$\frac{8a}{4-a}$）²-$\frac{64a}{4-a}$+16，
∵∠EAB=∠ABO，
∴AC=BC，
∴AC²=BC²，即（$\frac{8a}{4-a}$）²+8²=（$\frac{8a}{4-a}$）²-$\frac{64a}{4-a}$+16，
解得a=-12，则a+4=-8，
∴E点坐标为（-12，-8），
综上可知E点坐标为（4，8）或（-12，-8），
故答案为：（4，8）或（-12，-8）．

点评 本题主要考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法、平行线的判定和性质、等腰三角形的性质、分类讨论思想等知识点．确定出E点的位置，由条件得到AE∥OB或AC=BC是解题的关键．本题难度未大，注意考虑全面即可．