Question

7．如图，四边形ABCD是矩形，E是BD上的一点，∠BAE=∠BCE，∠AED=∠CED，点G是BC、AE延长线的交点，AG与CD相交于点F，则：①四边形ABCD是正方形；②△CEG∽△FEC；③C是BG的中点；④当AE=2EF时，FG=3EF，正确的有几个（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 ①由∠BAE=∠BCE，∠AED=∠CED，利用三角形外角的性质，即可得∠CBE=∠ABE，又由四边形ABCD是矩形，即可证得△ABD与△BCD是等腰直角三角形，继而证得四边形ABCD是正方形；
②由正方形的性质和条件可证得∠ECD=∠DAE=∠G，可证明△CEG∽△FEC；
③由E点为BD上的任意一点，当E为AC、BD的交点时，则G与C重合，不满足条件；
④由题意易证得△ABE∽△FDE，△ADE∽△GBE，△ADF∽△GCF，由AE=2EF，利用相似三角形的对应边成比例，即可求得FG=3EF．

解答 解：∵∠CED是△BCE的外角，∠AED是△ABE的外角，
∴∠CED=∠CBE+∠BCE，∠AED=∠BAE+∠ABE，
∵∠BAE=∠BCE，∠AED=∠CED，
∴∠CBE=∠ABE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠BCD=∠BAD=90°，AB=CD，
∴∠CBE=∠ABE=45°，
∴△ABD与△BCD是等腰直角三角形，
∴AB=AD=BC=CD，
∴四边形ABCD是正方形；
故①正确；
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ADE=∠CDE，且∠AED=∠CED，
∴∠DAE=∠DCE，
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠G，
∴∠DCE=∠G，且∠CEF=∠GEC，
∴△CEG∽△FEC，
故②正确；
∵E为BD上任一点，
∴E可为AC、BD的交点，
此时C、G重合，
∴C不是BG的中点，
故③不正确；
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴△ABE∽△FDE，△ADE∽△GBE，
∵AE=2EF，
∴BE：DE=AE：EF=2，
∴BG：AD=BE：DE=2，
即BG=2AD，
∵BC=AD，
∴CG=AD，
∵△ADF∽△GCF，
∴FG：AF=CG：AD，
即FG=AF=AE+EF=3EF．
故④正确；
综上可知正确有为①②④．
故选C．

点评 本题主要考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质，正方形的判定与性质、等腰直角三角形的性质以及三角形外角的性质．此题难度适中，注意数形结合思想的应用．