Question

17．如图，∠ACB=60^○，半径为1的⊙O切BC于点C，若将⊙O在直线CB上沿某一方向滚动，当滚动到⊙O与CA也相切时，圆心O移动的水平距离为（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． $\frac{1}{3}\sqrt{3}$
• C． π 或$\sqrt{3}$
• D． $\frac{1}{3}\sqrt{3}$或$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 根据题意画图，当圆O滚动到圆W位置与CA，CB相切，切点分别为E，F，连接WE，WF，CW，OC，OW，则四边形OWC是矩形；构造直角三角形利用直角三角形中的30°角的三角函数值，可求得点O移动的距离为OW=CF=WF•cot∠WCF=WF•cot30°=$\sqrt{3}$．

解答 解：①如图1，当圆O滚动到圆W位置与CA，CB相切，切点分别为E，F，
连接WE，WF，CW，OC，OW，则OW=CF，WF=1，∠WCF=$\frac{1}{2}$∠ACB=30°，
所以点O移动的距离为OW=CF=WF•cot∠WCF=WF•cot30°=$\sqrt{3}$．
②如图2，当圆O滚动到圆O′位置与CA，CB相切，切点分别为F，E，
连接OO′，O′E，O′C，O′F，OC，
则OO′=CE，∠O′CE=60°，
∴点O移动的距离为OO′=O′E•cot60°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
综上所述：滚动到⊙O与CA也相切时，圆心O移动的水平距离为：$\sqrt{3}$或$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故选D．

点评 此题考查了切线的性质与切线长定理，以及三角函数等知识．解此题的关键是根据题意作出图形，注意数形结合思想的应用．