Question

6．图1是小明利用废弃的钢条焊接成的创意书架，现将其结构简化成图2所示的图形，制作过程为：首先将两根钢条OA和OB焊接成∠AOB=45°，OB=70cm，BC=EF=HG=IJ=60cm，焊接点E、G、I分别为BC、EF、HG的中点，钢条KL、CD的长均为30cm，所有在点C，E，G，I，K焊接处的相邻两根钢条互相垂直．
（1）求证：L，J所在直线与直线OA平行；
（2）求书架的高度．（结果保留一位小数，$\sqrt{2}≈1.414$）

Answer 1

分析 （1）连接ED，先求得∠CED=45°，根据内错角相等求得OA∥ED，同理BG∥ED，IF∥BG，HK∥IF，LJ∥HK，即可证得L，J所在直线与直线OA平行；
（2）延长JI交直线OA于点M，根据已知求得∠HIJ=∠HGF=∠BEF=90°，求得JM∥EF，进而求得，∠M=45°，BM=OB=70cm，JB=90cm，进而得出JM=160cm，然后通过解正弦函数即可求得书架的高度．

解答 解：（1）连接ED，
∵焊接点E为BC的中点，BC=60cm，
∴EC=CD=30cm，
∵CD⊥EC，
∴∠CED=45°，
∴∠AOB=∠CED，OA∥ED，
同理BG∥ED，IF∥BG，HK∥IF，LJ∥HK，
∴LJ∥OA；
（2）延长JI交直线OA于点M，
∵所有在点C，E，G，I，K焊接处的相邻两根钢条互相垂直，
∴∠HIJ=∠HGF=∠BEF=90°，
∴JM∥EF，
∵BE=IG=IK=KJ=30cm，
∴JM过点B，∠M=45°，BM=OB=70cm，JB=90cm，
∴JM=160cm，
∴书架的高度为：JM•sin45°=80$\sqrt{2}$≈113.1（cm）．

点评 本题考查了平行线的判定和性质，解直角三角函数，把实际问题转化成为解直角三角形的问题是解题的关键．