Question

9．关于x的抛物线y=x²-（2m-1）x+m²-1与x轴的两交点为A（x₁，0），B（x₂，0），且x₁²+x₂²=3．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求抛物线与直线y=-3x-4的交点坐标，并指出抛物线在该直线下方时x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用抛物线与x轴的交点问题得到x₁、x₂为方程x²-（2m-1）x+m²-1=0的两根，则利用根的判别式可得到m＜$\frac{5}{4}$，再根据根与系数的关系得到x₁+x₂=2m-1，x₁•x₂=m²-1，由于x₁²+x₂²=3．则（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=3，所以（2m-1）²-2（m²-1）=3，然后解方程，再利用m的范围可确定m的值，从而得到抛物线解析式；
（2）通过解方程x²+x-1=-3x-4可得到抛物线与直线的交点的横坐标，再求出抛物线与直线y=-3x-4的交点坐标为（-1，-1），（-3，5），然后利用图象可判断抛物线在该直线下方时x的取值范围．

解答 解：（1）∵关于x的抛物线y=x²-（2m-1）x+m²-1与x轴的两交点为A（x₁，0），B（x₂，0），
∴x₁、x₂为方程x²-（2m-1）x+m²-1=0的两根，
∴△=（2m-1）²-4（m²-1）＞0，解得m＜$\frac{5}{4}$，
∵x₁+x₂=2m-1，x₁•x₂=m²-1，
x₁²+x₂²=3．
∴（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=3，
∴（2m-1）²-2（m²-1）=3，
整理得m²-2m=0，解得m₁=0，m₂=2，
而m＜$\frac{5}{4}$，
∴m=0，
∴抛物线解析式为y=x²+x-1；
（2）解方程x²+x-1=-3x-4得x₁=-1，x₂=-3，
∴抛物线与直线y=-3x-4的交点坐标为（-1，-1），（-3，5），
∴抛物线在该直线下方时x的取值范围为-3＜x＜-1．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了根与系数的关系和抛物线与直线的交点问题．