Question

12．如图，反比例函数y=$\frac{k}{x}$图象与一次函数y=-x-1图象的一个交点为A（-2，a）．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若一次函数y=-x-1与x轴交于点B，与y轴交于点C，点P是反比例函数y=$\frac{k}{x}$图象上一点，且S_△BOP=4S_△OBC，求点P的坐标；
（3）请直接写出不等式$\frac{k}{x}$+x＞-1的解集．

Answer 1

分析 （1）根据图象上的点满足函数解析式，可得点的坐标，根据待定系数法，即可求得反比例函数的解析式．
（2）根据三角形的面积公式求得S_△OBC=$\frac{1}{2}$OB•OC=$\frac{1}{2}$，根据已知条件求得S_△BOP=4S_△OBC=2，从而求得△BOP边OB上的高为h=4，得出P的纵坐标，把纵坐标代入解析式即可求得P的坐标；
（3）由图象可知当-2＜x＜0或x＞1时，反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象在直线y=-x-1的上面，从而求得不等式的解集．

解答 解：（1）一次函数y=-x-1的图象过点A（-2，a），
∴a=2-1=1
∴点A（-2，1），
又函数y=$\frac{k}{x}$图象过点（-2，1）
1=$\frac{k}{-2}$，
∴k=-2，
∴反比例函数的解析式为y=-$\frac{2}{x}$；
（2）由一次函数y=-x-1，可求得B（-1，0），C（0，-1），
∴S_△OBC=$\frac{1}{2}$OB•OC=$\frac{1}{2}$×1×1=$\frac{1}{2}$，
∴S_△BOP=4S_△OBC=4×$\frac{1}{2}$=2，
设△BOP边OB上的高为h，则h=4，则y_P=±4，
当y_P=4时，则4=-$\frac{2}{x}$，解得，x=-$\frac{1}{2}$，
当y_P=-4时，则-4=-$\frac{2}{x}$，解得，x=$\frac{1}{2}$，
∴P（-$\frac{1}{2}$，4）或（$\frac{1}{2}$，-4）；
（3）不等式$\frac{k}{x}$+x＞-1的解集为-2＜x＜0或x＞1．

点评 本题考查了用待定系数法求出一次函数、反比例函数的解析式，三角形的面积，一次函数与反比例函数的交点问题的应用，主要考查学生能否运用这些性质进行计算，本题具有一定的代表性，是一道不错的题目，数形结合思想的运用．