Question

11．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，M是边AC的中点，CH⊥BM于H．
（1）试求sin∠MCH的值；
（2）问△MCH与△MBC是否相似？请说明理由；
（3）连结AH，求证：∠AHM=45°．

Answer 1

分析 （1）设AC=BC=2a，由M是边AC的中点得出CM=AM=a，根据勾股定理求出BM的长，再由∠CMH+∠MCH=90°，∠CMH+∠MBC=90°可得出∠MCH=∠MBC，进而可得出结论；
（2）根据CH⊥BM于H，∠ACB=90°可得出∠MCB=∠MHC=90°，由∠BMC是公共角即可得出结论；
（3）由（2）可知，△MCH∽△MBC，故$\frac{MC}{BM}$=$\frac{MH}{CM}$，再由CM=AM可知$\frac{AM}{BM}$=$\frac{MH}{AM}$，根据∠AMH为公共角可得出△AMH∽△BMA，故可得出结论．

解答 （1）解：设AC=BC=2a，
∵M是边AC的中点，
∴CM=AM=a，
∴BM=$\sqrt{{BC}^{2}+{CM}^{2}}$=$\sqrt{{（2a）}^{2}+{a}^{2}}$=$\sqrt{5}$a．
∵∠ACB=90°，CH⊥BM于H，
∴∠CMH+∠MCH=90°，∠CMH+∠MBC=90°，
∴∠MCH=∠MBC，
∴sin∠MCH=sin∠MBC=$\frac{CM}{BM}$=$\frac{a}{\sqrt{5}a}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$；

（2）解：△MCH∽△MBC．
理由：∵CH⊥BM于H，
∴∠MHC=90°．
∵∠ACB=90°，
∴∠MCB=∠MHC=90°．
∵∠BMC是公共角，
∴△MCH∽△MBC；

（3）证明：∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠BAM=45°．
∵由（2）知，△MCH∽△MBC，
∴$\frac{MC}{BM}$=$\frac{MH}{CM}$．
∵M是边AC的中点，
∴CM=AM，
∴$\frac{AM}{BM}$=$\frac{MH}{AM}$．
∵∠AMH为公共角，
∴△AMH∽△BMA，
∴∠AHM=∠BAM=45°．

点评 本题考查的是相似形综合题，涉及到相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识，在解答此题时要注意等腰直角三角形两个锐角是45°，此题难度适中．