Question

20．在平面直角坐标系内，已知点A（0，6），点B（8，0），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P、Q移动的时间为t秒．
（1）求直线AB的解析式；
（2）当t=2秒时，求四边形OPQB的面积；
（3）当t为何值时，以点A、P、Q为顶点的三角形与△AOB相似？

Answer 1

分析 （1）根据直线经过点A、B，利用待定系数法求出函数的解析式；
（2）过点Q作QM⊥OA于M，由△AMQ∽△AOB求出QM的值，求出四边形OPQB的面积；
（3）以点A、P、Q为顶点的三角形与△AOB相似，分△APQ∽△AOB和△AQP∽△AOB两种情况讨论，根据相似三角形的对应边的比相等，就可以求出t的值．

解答 解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，
将点A（0，6）、点B（8，0）代入得，
$\left\{\begin{array}{l}{b=6}\\{8k+b=0}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{4}}\\{b=6}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x+6；
（2）过点Q作QM⊥OA于M，
当t=2秒时，AP=2，AQ=AB-BQ=6，
在Rt△OAB中，OA=6，OB=8，
由勾股定理可得，AB=10，
∵∠AOB=90°，QM⊥OA，
∴△AMQ∽△AOB，
∴$\frac{QM}{OB}$=$\frac{AQ}{AB}$，即$\frac{QM}{8}$=$\frac{6}{10}$，
解得，QM=$\frac{24}{5}$，
∴△APQ的面积=$\frac{1}{2}$×AP×QM=$\frac{24}{5}$，
∴四边形OPQB的面积=△AOB的面积-△APQ的面积=$\frac{96}{5}$；
（3）由题意得，AO=6，BO=8，AB=10，AP=t，AQ=10-2t，
当△APQ∽△AOB时，$\frac{AP}{AO}$=$\frac{AQ}{AB}$，即$\frac{t}{6}$=$\frac{10-2t}{10}$，
解得，t=$\frac{30}{11}$；
当△APQ∽△ABO时，$\frac{AP}{AB}$=$\frac{AQ}{AO}$，即$\frac{t}{10}$=$\frac{10-2t}{6}$，
解得，t=$\frac{50}{13}$，
因此，t=$\frac{30}{11}$或t=$\frac{50}{13}$时，以点A．P．Q为顶点的三角形与△AOB相似．

点评 本题考查的是相似三角形的判定和性质以及一次函数解析式的确定，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、待定系数法求一次函数解析式是解题的关键．